Cho hai đường thẳng x, y và hai điểm A, B. Dựng điểm C thuộc x và điểm D thuộc y sao cho A, B, C, D là các đỉnh của hình thang cân có AB là một cạnh đáy.

-Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình thang cân thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi d là đường trung trực của AB. Dựng đường thẳng x’ qua D và giao điểm của d và x (nếu d//x thì x’ là đường thẳng đi qua D và song song với x). Khi đó, x’ đối xứng với x qua d. Điểm D thỏa mãn hai điều kiện: thuộc x’ và thuộc y. Từ đó dựng được điểm C.

-Cách dựng:

+ Dựng đường trung trực d của AB.

+ Dựng đường thẳng x’ đối xứng với x qua d.

+ Gọi D là giao điểm của x’ và y. Dựng C đối xứng với D qua d.

-Chứng minh:

Theo cách dựng thì AB//CD do cùng vuông góc với d. Mặt khác AC đối xứng với BD qua d nên AC = BD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân.

-Biện luận:

+ Nếu x’ trùng y thì bài toán có vô số nghiệm hình. Khi đó x và x’ đối xứng nhau qua d; nói cách khác d trùng với phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d là đường thẳng song song cách đều x và y.

+ Nếu x’//y thì bài toán không có nghiệm hình. Khi đó d song song với một tia phân giác của góc tạo bởi x và y.

+ Nếu x’ cắt y thì bài toán có một nghiệm hình. Khi đó d cắt cả hai đường thẳng chứa tia phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d cắt đường thẳng song song cách đều x và y.

Riêng nếu x’ cắt y tại điểm D thuộc d, bài toán không có nghiệm hình, nếu x’ cắt y tại điểm D thẳng hàng với AB, bài toán không có nghiệm hình.