Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, chu vi bằng 2p và các đường cao tương ứng lần lượt là h, m, n. Chứng minh rằng:

a) ${\left(b+c\right)}^2\ge a^2+4h^2$

b) $h^2\le p\left(p-a\right)$

c) $h^2+m^2+n^2\le p^2$

Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, ta vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH, CDFK. Chứng minh rằng A là trung tâm điểm của HK.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng HM là tia phân giác của góc $\widehat{AHC}$.

Cho hình chữ nhật ABCD có $\widehat{BDC}=30°$. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E và cắt tia phân giác của góc  tại M. Gọi N, K lần lượt là hình chiếu của m lên AD, AB.

1. Chứng minh rằng AMBD là hình thang cân.

2. Chứng minh rằng ba điểm N, K, E thẳng hàng.

Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, $\widehat{ACD}=60°$ và O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $AM\perp IK$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh B lên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AH, CD.

1. Gọi I, O lần lượt là trung điểm của AB, IC. Chứng minh rằng $MO=\frac{1}{2}IC$.

2. Tính số đo góc $\widehat{BMK}$.

Cho hình thang vuông ABCD có $\hat{A}=\hat{D}=90°$. Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường thẳng vuông góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED=EF