Cho đoạn thẳng AB và một điểm M thay đổi trên AB (M không trùng với A và B). Vẽ các hình vuông AMCD và BMEF thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB.

a) Chứng minh AE = BC và $\mathrm{AE}\perp \mathrm{BC}$

b) Gọi G, I, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, CE, EB. Tứ giác GINK là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên BA.

Chứng minh rằng trung điểm Q của IK luôn nằm trên một đường cố định khi M di chuyển trên AB.

Cho biểu thức $\mathrm{Q}=\left[\frac{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}+1-\frac{1}{\mathrm{x}}\right]:\left(\frac{{\mathrm{x}}^3-1}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}}-\frac{{\mathrm{x}}^3+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\right)$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm x nguyên để biểu thức Q có giá trị nguyên

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\mathrm{P}=\frac{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}{\mathrm{Q}}+\mathrm{x}+1$

Xác định đa thức f (x) biết f (x) chia hết cho 2x – 1, chia cho x – 2 thì dư 6, chia cho $2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+2$ được thương x + 2 và còn dư.

a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}-\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}=0$

Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{a}}{{\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}\right)}^2}+\frac{\mathrm{b}}{{\left(\mathrm{c}-\mathrm{a}\right)}^2}+\frac{\mathrm{c}}{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2}=0$

b) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn:

$\mathrm{a}\le \mathrm{b}\le \mathrm{c}$ và $\left(1+\frac{1}{\mathrm{a}}\right)\left(1+\frac{1}{\mathrm{b}}\right)\left(1+\frac{1}{\mathrm{c}}\right)=2$

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) $\mathrm{A}={\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+4$

b) $\mathrm{B}={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2+$$\mathrm{xy}-\mathrm{x}-\mathrm{y}$