Chia 27 quả cân có khối lượng $1^2,2^2,3^2,...,{27}^2$ gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^3+b^3+c^3-3abc$

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách áp dụng câu a): ${\left(x-y\right)}^3+{\left(y-z\right)}^3+{\left(z-x\right)}^3.$

Mỗi số sau là bình phương của số tự nhiên nào?

a) $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}25;$

b) $B=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}8\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}}1;$

c) $C=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{44...4}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}9;$

d) $D=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}\underset{n+1}{\underbrace{\mathrm{22...2}}}5.$

Chứng minh rằng:

a) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.

b) Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.

c) Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì cũng là tổng của hai số chính phương.

d) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai số chính phương.

Xét hằng đẳng thức $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, ... , n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị biểu thức: $S=1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2.$

Cho a+b+c=0. Rút gọn biểu thức: $M=a^3+b^3+c(a^2+b^2)-abc$

Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n+1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a+b+c+8 là số chính phương.

Chứng minh rằng số $A=\frac{1}{3}(\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11...1}}}-\underset{n}{\underbrace{\mathrm{33...3}}}\underset{n}{\underbrace{\mathrm{00...0}}})$ là lập phương của một số tự nhiên.