Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức:

a) $M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab};$

b) $N=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab};$

c) $P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$

Cho $a^3+b^3+c^3=3abc$ và $a+b+c\ne 0$. Tính giá trị của biểu thức: $N=\frac{a^2+b^2+c^2}{{\left(a+b+c\right)}^2}$

Tìm x, y, z biết rằng $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}.$

Cho $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}$

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau

Cho biết $\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{a+c-b}{ac}=0$. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x+3}{x+1}-\frac{2x-1}{x-1}-\frac{x-3}{x^2-1};$

b) $\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x\left(x-y\right)}+\frac{1}{y\left(y-x\right)}.$

Xác định các số a, b, c sao cho:

a) $\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1};$

b) $\frac{1}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2};$

c) $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2\left(x+2\right)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{c}{x+2}$