Tìm dư khi chia đa thức  $f\left(x\right)=x^{50}+x^{49}+\mathrm{...}+x^2+x+1$ cho $x^2-1$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 7, f(x) chia cho x-2 thì dư 5, f(x) chia cho (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư.

Tìm dư khi chia các đa thức sau

a) $x^{41}:\left(x^2+1\right)$

b) $x^{43}:\left(x^2+1\right).$

Khi chia đơn thức $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$, ta được thương là B(x) và dư là số $r_1$. Khi chia B(x) cho $x+\frac{1}{2}$ ta được thương là C(x) và dư là số $r_2$. Tính $r_2$

Chứng minh rằng:

a) $x^{50}+x^{10}+1$ chia hết cho $x^{20}+x^{10}+1$

b) $x^2-x^9-x^{1945}$ chia hết cho $x^2-x+1$

c) $x^{10}-10x+9$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

d) $8x^9–9x^8+1$ chia hết cho ${\left(x-1\right)}^2$

Tìm đa thức f(x), biết rằng f(x) chia cho x-3 thì dư 2, f(x) chia cho x+4 thì dư 9, còn f(x) chia cho $x^2+x-12$ thì được thương $x^2+3$ và còn dư.

Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết rằng f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

a) ${\left(x+1\right)}^{2n}–x^{2n}–2x–1$ chia hết cho $x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)$

b) $x^{4n+2}+2x^{2n+1}+1$ chia hết cho ${\left(x+1\right)}^2$

c) ${\left(x+1\right)}^{4n+2}+{\left(x–1\right)}^{4n+2}$ chia hết cho $x^2+1$