Cho ba số phức $z_1=4-3i, z_2=\left(1+2i\right)i$ và $z_3=\frac{1-i}{1+i}$có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy lần lượt là A, B, C. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D thỏa ABCD là hình bình hành?

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$\left|z\right|=2\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I_1\left(0;0\right)$, bán kính $R_1=2$.

Lại có: $\left|i\right|\left|w-\frac{2-5i}{i}\right|=1\iff \left|w-\left(-5-2i\right)\right|=1$

$\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I_2\left(-5;-2\right)$ bán kính $R_2=1$.

Đặt $T=\left|z^2-wz-4\right|=\left|z^2-wz-z\overline{z}\right|=\left|z\right|\left|z-w-\overline{z}\right|=2\left|z-w-\overline{z}\right|$.

Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \overline{z}=a-bi\Rightarrow z-\overline{z}=2bi$

$\Rightarrow T=2\left|2bi-w\right|$.

Gọi M(0;2b) là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w.

$\Rightarrow T=2M{N}_{min}\iff M{N}_{min}$

Do $\left|z\right|=2\Rightarrow a^2+b^2=4\iff -2\le b\le 2\iff -4\le 2b\le 4$

$\Rightarrow$tập hợp các điểm M là đoạn AB với A(0; -4), B(0;4)

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N}_{min}=4\iff$N(-4; -2), M(0; 2)

Vậy $T_{min}=2.4=8$.

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} z+2=iw\Rightarrow w=\frac{z+2}{i} \\ \left|w-i\right|=2\Rightarrow \left|\frac{z+2}{i}-i\right|=2\iff \left|z+2+1\right|=2\iff \left|z+3\right|=2 \end{gathered}$$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $I(-3;0)$ bán kính R = 2.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, dựa vào hình vẽ (bên dưới) ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}_{min}\iff O{M}_{min}\iff M(-1;0)\Rightarrow z_1=-1\\ {\left|z\right|}_{min}\iff O{M}_{max}\iff M(-5;0)\Rightarrow z_2=-5\end{array}\Rightarrow \left|z_1+z_2\right|=6\right.$