Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(1;0;0\right),B\left(3;2;4\right);C\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;-1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a-b+c

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left(0;1;1\right),B\left(3;0;-1\right),C\left(0;21;-19\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng $3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ $\overrightarrow{OM}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;0;0\right);B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;6\right)$. Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho $OM.ON=12$. Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z+1=0$,$\left(Q\right):x-2y+2z-8=0$, $\left(R\right):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $∆$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AB+\frac{96}{A{C}^2}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(3;2;1). Gọi C(5;3;7) thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+z-1=0$, $\left(Q\right):x-2y+z+8=0$ và $\left(R\right):x-2y+z-4=0$. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P); (Q); (R) lần lượt tại A, B, C. Đặt $T=\frac{A{B}^2}{4}+\frac{144}{AC}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I\left(2;1;1\right)$ có bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $J\left(2;1;5\right)$ có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?