Cho hàm số $y=\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2$. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

Đáp án B

$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow y=3a{x}^2+2bx+c=0$ có 2 nghiệm

$$\begin{gathered} x_1+x_2=\frac{-2b}{3a}=-1+3\Rightarrow b=-3a\left(1\right) \\ {x}_1.x_2=\frac{c}{3a}=-1.3\Rightarrow c=-9a\left(2\right) \end{gathered}$$

Mà 2 điểm cực trị là (-1; 18) và (3; - 16) thuộc đồ thị nên ta có:

$$\begin{gathered} -a+b-c+d=18\left(3\right) \\ 27a+9b+3c+d=-16\left(4\right) \end{gathered}$$

Giải hệ 4 phương trình  ta có:

$$\begin{gathered} a=\frac{17}{16},b=\frac{-51}{16};c=\frac{-153}{16};d=\frac{203}{16} \\ \Rightarrow a+b+c+d=1 \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2018 \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Căn cứ vào đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=-2\\ f\text{'}\left(1\right)=1\\ f\text{'}\left(-3\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}g\text{'}\left(-1\right)=0\\ g\text{'}\left(1\right)=0\\ g\text{'}\left(-3\right)=0\end{array}\right.$

Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt) ta thấy (P) đi qua các điểm $\left(-3;3\right),\left(-1;-2\right),\left(1;1\right)$ với đỉnh $I\left(-\frac{3}{4};-\frac{33}{16}\right)$. Rõ ràng:

- Trên khoảng (-1; 1) thì $f\text{'}\left(x\right)>x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in \left(-1;1\right)$

- Trên khoảng (-3; -1) thì $f\text{'}\left(x\right)<x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \left(-3;-1\right)$

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\text{'}\left(x\right)$ trên $\left[-3;1\right]$ như sau:

Vậy $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g(-1)$