Biết đồ thị hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có 2 điểm cực trị là: $\left(-1;18\right),\left(3;-16\right)$.Tính $a+b+c+d$ ?

Đáp án A

Ta có:

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+2018 \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Căn cứ vào đồ thị $y=f\text{'}\left(x\right)$ ta có: $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=-2\\ f\text{'}\left(1\right)=1\\ f\text{'}\left(-3\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}g\text{'}\left(-1\right)=0\\ g\text{'}\left(1\right)=0\\ g\text{'}\left(-3\right)=0\end{array}\right.$

Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số $y=x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt) ta thấy (P) đi qua các điểm $\left(-3;3\right),\left(-1;-2\right),\left(1;1\right)$ với đỉnh $I\left(-\frac{3}{4};-\frac{33}{16}\right)$. Rõ ràng:

- Trên khoảng (-1; 1) thì $f\text{'}\left(x\right)>x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)>0\forall x\in \left(-1;1\right)$

- Trên khoảng (-3; -1) thì $f\text{'}\left(x\right)<x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}$, nên $g\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \left(-3;-1\right)$

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\text{'}\left(x\right)$ trên $\left[-3;1\right]$ như sau:

Vậy $\underset{\left[-3;1\right]}{\min }g\left(x\right)=g(-1)$

Đáp án A

Ta có: 

$$\begin{gathered} y=x^3+3x^2-4\iff y\text{'}=3x^2+6x \\ \Rightarrow y\text{'}\text{'}=6x+6;y\text{'}\text{'}=0\iff x=-1 \end{gathered}$$

Với x = - 1 thì y = - 2. Vậy M (-1; - 2) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Mà $M\left(-1;-2\right)\in d:2x+y+4=0$