Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3), mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+2y-z-3=0$ và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-6x-4y-10z+2=0$. Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và cắt (S) tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn MN nhỏ nhất là:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, D, AB=AD=a, CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy (ABCD) và SD=a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Tập nghiệm của phương trình $\log \left(x^2-1\right)=\log \left(2x-1\right)$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và f(1)=1. Đồ thị hàm số y=f’(x) như hình bên.

Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số $y=\left|4f\left(\sin x\right)+\cos 2x-a\right|$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3khix\ge 1\\ 5-xkhix<1\end{array}\right.$

Tính $I=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)\cos xdx+3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(3-2x\right)dx$

Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [-4;4], có các điểm cực trị trên (-4;4) là -3; $-\frac{4}{3}$; 0; 2 và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số $y=g\left(x\right)=f(x^3+3x)+m$ với m là tham số. Gọi m₁ là giá trị của m để $\underset{\left[0;1\right]}{\max }g\left(x\right)=4$, m₂ là giá trị của m để $\underset{\left[-1;0\right]}{\min }g\left(x\right)=-2$. Giá trị của m₁+m₂ bằng.

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tập nghiệm của bất phương trình $\left({\log }_{2}x-\sqrt{2}\right)\left({\log }_{2}x-y\right)<0$ chứa tối đa 1000 số nguyên.