Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f’(x) liên tục trên [1;3], $f\left(x\right)\ne 0$ với mọi $x\in \left[1;3\right]$, đồng thời $f^{\text{'}}\left(x\right){\left[1+f\left(x\right)\right]}^2={\left[{\left(f\left(x\right)\right)}^2\left(x-1\right)\right]}^2$ và $f\left(1\right)=-1$. Biết rằng $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=a\ln 3+b\left(a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}\right)$, tính tổng $S=a+b^2$.

Có bao nhiêu số nguyên dương n để log_n256 là một số nguyên dương?

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, biết AB=2a, AC=a, BC’=2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình $y=\frac{1}{4}{x}^2$. Gọi $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left(2;0;1\right)$, $B\left(3;1;5\right)$, $C\left(1;2;0\right)$, $D\left(4;2;1\right)$. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với (α) và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng (α) là lớn nhất. Giả sử phương trình (α) có dạng: $2x+my+nz-p=0$. Khi đó, $T=m+n+p$ bằng:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\text{e}}^{-x}+\cos x$. Tìm khẳng định đúng.

Biết hai đồ thị hàm số $y=x^3+x^2-2$ và $y=-x^2+x$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,B,C. Khi đó diện tích tam giác ABC bằng