Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60o. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của △ABC...

Đáp án DGọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của △ABC.Ta có B'G⊥ABC⇒BB',ABC^=B'BG^=60o.VA'.ABC=13.SΔABC.B'G=16AC.BC.B'GXét △B'BG vuông tại G, có B'BG^=60o⇒B'G=a32.Đặt AB=2x Trong △ABC vuông tại C có BAC^=60o.⇒AC=AB2=x,BC=x3⇒AC=AB2=x,BC=x3Do G là trọng tâm ΔABC⇒BN=32BG=3a4.Trong DBNC vuông tại C, ta có BN2=NC2+BC2⇔9a216=x24+3x2⇔x2=9a252⇒x=3a213⇒AC=3a213BC=3a3213Vậy VA'ABC=16.3a213.3a3213.a32=9a3208.

Câu hỏi:

19/08/2021 382

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB'=a góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60^{o} .$ Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của $△$ ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng

$A . \frac{13 a^{3}}{108} .$

$B . \frac{7 a^{3}}{106} .$

$C . \frac{15 a^{3}}{108} .$

$D . \frac{9 a^{3}}{208} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của $△$ ABC.

Ta có $B^{'} G ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(B B^{'}, (A B C))} = \hat{B^{'} B G} = 60^{o} .$

$V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . B^{'} G = \frac{1}{6} A C . B C . B^{'} G$

Xét $△$ B'BG vuông tại G, có $\hat{B^{'} B G} = 60^{o} \Rightarrow B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Đặt AB=2x Trong $△$ ABC vuông tại C có $\hat{B A C} = 60^{o} .$

$\Rightarrow A C = \frac{A B}{2} = x, B C = x \sqrt{3} \Rightarrow A C = \frac{A B}{2} = x, B C = x \sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $Δ A B C \Rightarrow B N = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4} .$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B N^{2} = N C^{2} + B C^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{9 a^{2}}{16} = \frac{x^{2}}{4} + 3 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{9 a^{2}}{52} \Rightarrow x = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \Rightarrow \{\begin{cases} A C = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \\ B C = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} \end{cases}$

Vậy $V_{A^{'} A B C} = \frac{1}{6} . \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} . \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{9 a^{3}}{208} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 20 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16 $π$ (cm²). Thể tích của quả bóng bằng bao nhiêu? (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân)

A. 0,15 (lít).

B. 0,38 (lít).

C. 0,5 (lít).

D. 1 (lít).

Lời giải

Đáp án B

Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip, đặt tọa độ $O x y, x_{A} = 10$ và $x_{B} = - 10.$

Ta có diện tích đường tròn thiết diện là $S = π r^{2} = 16 π \Rightarrow r = 4 \Rightarrow y_{C} = 4$ và $y_{D} = - 4.$

Ta sẽ có phương trình elip $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$\Rightarrow y = π \int_{- 4}^{4} 16 (1 - \frac{x^{2}}{100}) d x \approx 380 (c m^{3}) = 0, 38 (1) .$

Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa (ảnh 1)

Câu 2

Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ. Gọi (N₁) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy HM; (N₂) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy OD. Tỉ số thể tích của khối nón (N₁) và khối nón (N₂) là

$A . \frac{1}{2}$

$B . \frac{1}{8}$

$C . \frac{\sqrt{2}}{4}$

$D . \frac{\sqrt{2}}{8}$

Lời giải

Đáp án C

Ta có mặt phẳng (P) chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau $\Rightarrow \frac{S_{x q (N_{1})}}{S_{x q (N_{2})}} = \frac{1}{2}$

Ta có $M N / / C D$ nên theo định lí Ta-let ta có $\frac{A M}{A D} = \frac{A H}{A O} = \frac{H M}{O D} = k$

$\begin{array}{l} \frac{S_{x q (N_{1})}}{S_{x q (N_{2})}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π . H M . A M}{π . O D . A D} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π . k . O D . k . A D}{π . O D . A D} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \frac{V_{(N_{1})}}{V_{(N_{2})}} = \frac{π . H M^{2} . A H}{π . O D^{2} . A O} = \frac{π . {(k . O D)}^{2} . k . A O}{π . O D^{2} . A O} = k^{3} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} . \end{array}$