Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x-3y+2z+37=0$ và các điểm $A\left(4;1;5\right),B\left(3;0;1\right),C\left(-1;2;0\right)$. Biết M thuộc (P) sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là

Một khu di tích nọ có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi vào tham quan rồi đi ra. Người đó có bao nhiêu cách đi để cửa đi vào và đi ra là khác nhau?

Hàm số y=x.lnx đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Một thùng rượu có dạng khối tròn xoay với đường sinh là một phần của parabol, bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (như hình vẽ). Khi đó, thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

Cho a,b>0 thỏa mãn: $a^{\frac{1}{2}}>a^{\frac{1}{3}},b^{\frac{2}{3}}>b^{\frac{3}{4}}$ khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

Người ta tạo một quả cầu gai bằng cách dựng ra phía ngoài mỗi mặt của hình lập phương (cạnh bằng 1) một hình chóp tứ giác đều đáy là mặt hình lập phương (các hình chóp tứ giác đều là bằng nhau). Gọi $A,B,C,D,E,F$ là đỉnh của mỗi hình chóp đều, và thể tích khối đa diện ABCDEF bằng $\frac{32}{3}$. Tính thể tích của khối cầu gai đó.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30°$. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ thuộc đường thẳng B'C'. Khoảng cách giữa AA' và B'C' bằng

Cho hình chóp S.ABCD có SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC=a. Gọi M là trung điểm của AB, góc giữa hai đường thẳng SM và BC bằng