Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện x,y≥0; z≥−1 và log2x+y+14x+y+3=2x−y. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+z+123x+y+y+22x+2z+3 tương ứng bằng: A. 42 B. 6 C. 63 D. 4

Đáp án DTừ giả thiết ta có: log2x+y+14x+y+3=2x−y⇔1+log2x+y+14x+y+3=2x−y+1⇔log22x+2y+24x+y+3=2x−y+1⇔log22x+2y+24x+y+3=4x+y+3−2x+2y+2⇔log22x+2y+2+2x+2y+2=log24x+y+3+4x+y+3Xét hàm ft=log2t+t có f't=1tlnt+1>0⇒ft đồng biến trên 0;+∞.⇒f2x+2y+2=f4x+y+3⇔2x+2y+2=4x+y+3⇔y=2x+1.Thay vào biểu thức T ta được T=x+z+123x+y+y+22x+2z+3=x+z+125x+1+2x+32x+2z+3.Áp dụng bất đẳng thức: T=x+z+125x+1+2x+32x+2z+3≥x+z+1+2x+325x+1+x+2z+3=3x+z+426x+2z+4=12.3x+z+423x+z+2Đặt t=3x+z+2⇒T≥12.t+22t=12t+4t+4≥12.2.t.4t+4=4.Dấu “=” xảy ra khi y=2x+1t=2=3x+z+2x+z+15x+1=2x+3x+2z+3⇔x=z=0y=1Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là Tmin=4.

Câu hỏi:

23/08/2021 184

Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện $x, y \geq 0; z \geq - 1$ và $\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ tương ứng bằng:

$A . 4 \sqrt{2}$

B. 6

$C . 6 \sqrt{3}$

D. 4

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l} \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y \Leftrightarrow 1 + \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = (4 x + y + 3) - (2 x + 2 y + 2) \\ \Leftrightarrow \log_{2} (2 x + 2 y + 2) + (2 x + 2 y + 2) = \log_{2} (4 x + y + 3) + (4 x + y + 3) \end{array}$

Xét hàm $f (t) = \log_{2} t + t$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln t} + 1 > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

$\Rightarrow f (2 x + 2 y + 2) = f (4 x + y + 3) \Leftrightarrow 2 x + 2 y + 2 = 4 x + y + 3 \Leftrightarrow y = 2 x + 1$ .

Thay vào biểu thức T ta được $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3} = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ .

Áp dụng bất đẳng thức: $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3} \geq \frac{{(x + z + 1 + 2 x + 3)}^{2}}{5 x + 1 + x + 2 z + 3} = \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{6 x + 2 z + 4} = \frac{1}{2} . \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{3 x + z + 2}$

Đặt $\begin{array}{l} t = 3 x + z + 2 \\ \Rightarrow T \geq \frac{1}{2} . \frac{{(t + 2)}^{2}}{t} = \frac{1}{2} (t + \frac{4}{t} + 4) \geq \frac{1}{2} . (2. \sqrt{t . \frac{4}{t}} + 4) = 4 \end{array}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} y = 2 x + 1 \\ t = 2 = 3 x + z + 2 \\ \frac{x + z + 1}{5 x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 2 z + 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = z = 0 \\ y = 1 \end{cases}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là $T_{\min} = 4$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số $y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$ có đồ thị (H). Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ với $x_{0} < 0$ là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Tính giá trị biểu thức $S = {(x_{0} + y_{0})}^{2}$ ?

A. S=0

B. S=9

C. S=1

D. S=4

Xem đáp án » 23/08/2021 12,210

Câu 2:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 2\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là:

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Xem đáp án » 23/08/2021 6,281

Câu 3:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

$A . π$

B. -1

C. 1

D. Không tồn tại

Xem đáp án » 23/08/2021 3,985

Câu 4:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với z là số phức thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó

$A . 4 π$

$B . 2 π$

$C . 3 π$

$D . π$

Xem đáp án » 23/08/2021 1,862

Câu 5:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng:

$A . 4 π$

$B . 16 π$

$C . 2 π$

$D . 8 π$

Xem đáp án » 23/08/2021 1,243

Câu 6:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27 c m^{3}$ . Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

$A . r = \sqrt[4]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

$B . r = \sqrt[6]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

$C . r = \sqrt[4]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

$D . r = \sqrt[6]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

Xem đáp án » 23/08/2021 1,119

Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án » 23/08/2021 949

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện $x, y \geq 0; z \geq - 1$ và $\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ tương ứng bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 2\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với z là số phức thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27 c m^{3}$ . Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện x,y≥0; z≥−1 và log2x+y+14x+y+3=2x−y. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+z+123x+y+y+22x+2z+3 tương ứng bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=4x−5x+1 có đồ thị (H). Gọi Mx0;y0 với x0<0 là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Tính giá trị biểu thức S=x0+y02?

Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\−1;2, liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=1fx−1 là:

Giá trị lớn nhất của hàm số y=1cosx trên khoảng π2;3π2 là:

Tập hợp các số phức w=1+iz+1 với z là số phức thỏa mãn z-1≤1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x, trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực x;y;z thỏa mãn các điều kiện $x, y \geq 0; z \geq - 1$ và $\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ tương ứng bằng:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 2\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với z là số phức thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng x=4. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox bằng:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích $27 c m^{3}$ . Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?