Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặ...

Đáp án BCách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó MPQ//SAC ⇒MN,SAC=MN,MPQGọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ ⇒NH⊥MPQSuy ra: MN,MPQ=NMH^Ta có: NH=2SNPQPQ=2.14SABCSAC2=SABCDAC=AB.BCAB2+BC2=a2.2aa6=2a3MN=AM2+AN2=a2+a2=a2Suy ra: MH=MN2−NH2=a22−2a32=6a3Suy ra cosNMP^=MHMN=a63:a2=33Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.Khi đó: A0;0;0, B2;0;0, C2;2;0, D0;2;0, S0;0;2⇒M22;0;22N0;1;0⇒NM→=22;−1;22Có AC→=2;2;0AS→=0;0;2⇒AC→,AS→=22;−2;0⇒nSAC→=2;−1;0Suy ra sinMN,SAC=uMN→.nSAC→uMN→.nSAC→=2223=63⇒cosMN,SAC=1−632=33

Câu hỏi:

24/08/2021 178

Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật $A B = \sqrt{2} a, A D = 2 a$ , SA vuông góc với đáy và $S A = \sqrt{2} a$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?

$A . \frac{\sqrt{3}}{6}$

$B . \frac{\sqrt{3}}{3}$

$C . \frac{\sqrt{6}}{3}$

$D . \frac{1}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $(M P Q) / / (S A C)$ $\Rightarrow (M N, (S A C)) = (M N, (M P Q))$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow N H ⊥ (M P Q)$

Suy ra: $(M N, (M P Q)) = \hat{N M H}$

Ta có: $\{\begin{cases} N H = \frac{2 S_{N P Q}}{P Q} = \frac{2. \frac{1}{4} S_{A B C S}}{\frac{A C}{2}} = \frac{S_{A B C D}}{A C} = \frac{A B . B C}{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}} = \frac{a \sqrt{2} .2 a}{a \sqrt{6}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ M N = \sqrt{A M^{2} + A N^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} \end{cases}$

Suy ra: $M H = \sqrt{M N^{2} - N H^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2 a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Suy ra $\cos \hat{N M P} = \frac{M H}{M N} = \frac{a \sqrt{6}}{3} : a \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.

Khi đó: $A (0; 0; 0), B (\sqrt{2}; 0; 0), C (\sqrt{2}; 2; 0), D (0; 2; 0), S (0; 0; \sqrt{2})$

$\Rightarrow \{\begin{cases} M (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; \frac{\sqrt{2}}{2}) \\ N (0; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow \vec{N M} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; - 1; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Có $\{\begin{cases} \vec{A C} = (\sqrt{2}; 2; 0) \\ \vec{A S} = (0; 0; \sqrt{2}) \end{cases} \Rightarrow [\vec{A C}, \vec{A S}] = (2 \sqrt{2}; - 2; 0) \Rightarrow \vec{n_{(S A C)}} = (\sqrt{2}; - 1; 0)$

Suy ra $\sin (M N, (S A C)) = \frac{|\vec{u_{M N}} . \vec{n_{(S A C)}}|}{|\vec{u_{M N}}| . |\vec{n_{(S A C)}}|} = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos (M N, (S A C)) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đặt $\log_{2} 3 = a$ . Khi đó $\log_{12} 18$ bằng

$A . \frac{1 + 3 a}{2 + a}$

B. $\frac{2 + a}{1 + 2 a}$

C. a

D. $\frac{1 + 2 a}{2 + a}$

Lời giải

Đáp án D

Ta có: $\log_{12} 18 = \frac{\log_{2} 18}{\log_{2} 12} = \frac{\log_{2} ({2.3}^{2})}{\log_{2} (2^{2} .3)} = \frac{1 + 2 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3} = \frac{1 + 2 a}{2 + a}$

Câu 2

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD và I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Trên tấm biển đó có đường Parabol đỉnh I đi qua A, B và cắt đường chéo BD tại M. Chi phí để sơn phần tô hình tổ ong (có diện tích $S_{1}$ ) là 200000 đồng/m², chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích $S_{2}$ ) là 150000 đồng/m² và phần còn lại là 100000 đồng/m². Số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết AB=4m?

A. 2,51 triệu đồng

B. 2,36 triệu đồng

C. 2,58 triệu đồng

D. 2,34 triệu đồng

Lời giải

Đáp án B

Diện tích hình vuông là: $S = 4^{2} = 16 m^{2}$

Gọi $S_{3}$ là phần diện tích còn lại (không tô đậm).

Gắn hệ tọa độ nhưu hình vẽ:

Do I(0;4) là đỉnh của parabol (P) nên có phương trình: $y = a x^{2} + 4 \overset{B (2; 0) \in (P)}{\to} 0 = 4 a + 4 \Leftrightarrow a = - 1 \Rightarrow y = - x^{2} + 4$

Ta có $B (2; 0), D (- 2; 4) \Rightarrow$ phương trình $D B : y = - x + 2$

Xét phương trình:

$- x^{2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array} \Rightarrow M (- 1; 3)$ . Khi đó

$\{\begin{cases} S_{1} = \int_{- 1}^{2} ((- x^{2} + 4) - (- x + 2)) d x = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{9}{2} m^{2} \\ S_{2} = \int_{- 2}^{- 1} (- x^{2} + 4) d x + \int_{- 1}^{2} (- x + 2) d x = \frac{37}{6} m^{2} \end{cases} \overset{(*)}{\to} S_{3} = S - (S_{1} + S_{2}) = \frac{16}{3}$

Suy ra tổng tiền: $T = \frac{9}{2} .200000 + \frac{37}{6} .150000 + \frac{16}{3} .100000 = 2368333, (3) \approx 2, 37$ triệu đồng.

Chú ý: Ở bài toán này ta có thể sử dụng công thức giải nhanh: “Diện tích giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành là: $S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} I O . A B = \frac{2}{3} .4.4 = \frac{32}{3} m^{2} \Rightarrow S_{2} = \frac{32}{3} - S_{1} = \frac{32}{3} - \frac{9}{2} = \frac{37}{6} m^{2}$

Câu 3

Ông A gửi tiết kiệm ngân hàng 500 triệu đồng theo hình thức lãi kép, loại kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,6% / tháng. Cuối mỗi tháng đến ngày tính lãi ông A ta đến ngân hàng và rút 2 triệu đồng để chi tiêu. Sau đúng 5 năm kể từ ngày gửi ông A đến và rút hết số tiền còn lại tron ngân hàng, hỏi số tiền đó gần với con số nào dưới đây?

A. 574 triệu đồng

B. 560 triệu đồng

C. 571 triệu đồng

D. 580 triệu đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho khối đa diện đều loại $\{3; 4\}$ có độ dài cạnh bằng $a \sqrt{6}$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối đa diện đều đã cho bằng

$A . 9 \sqrt{2} π a^{3}$

$B . 4 \sqrt{3} π a^{3}$

$C . 12 \sqrt{3} π a^{3}$

$D . 6 \sqrt{6} a^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + b (a, b \in ℝ)$ có 2 điểm cực trị A và B. Biết tam giác ABC vuông cân tại O (O là gốc tọa độ), giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ bằng

A. 25

$B . \frac{10}{3}$

C. 40

D. 10

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho bốn hàm số $y = \sqrt[3]{x}, y = x^{\frac{1}{3}}, y = \log_{2} |x| v à y = \log_{x^{2} + 1} 2$ . Có bao nhiêu hàm số có tập xác định là $ℝ$ ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Số cách xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho hai học sinh nữ luôn luôn đứng cạnh nhau là

A. 24

B. 12

C. 120

D. 48

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)?

Đặt log23=a. Khi đó log1218 bằng

Cho khối đa diện đều loại 3;4 có độ dài cạnh bằng a6. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối đa diện đều đã cho bằng

Cho hàm số fx=x3−2ax2+a2x+ba,b∈ℝ có 2 điểm cực trị A và B. Biết tam giác ABC vuông cân tại O (O là gốc tọa độ), giá trị của biểu thức P=a2+b2 bằng

Cho bốn hàm số y=x3, y=x13, y=log2x và y=logx2+12. Có bao nhiêu hàm số có tập xác định là ℝ?

Số cách xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho hai học sinh nữ luôn luôn đứng cạnh nhau là

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Đặt $\log_{2} 3 = a$ . Khi đó $\log_{12} 18$ bằng

Cho khối đa diện đều loại $\{3; 4\}$ có độ dài cạnh bằng $a \sqrt{6}$ . Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối đa diện đều đã cho bằng

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + b (a, b \in ℝ)$ có 2 điểm cực trị A và B. Biết tam giác ABC vuông cân tại O (O là gốc tọa độ), giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ bằng

Cho bốn hàm số $y = \sqrt[3]{x}, y = x^{\frac{1}{3}}, y = \log_{2} |x| v à y = \log_{x^{2} + 1} 2$ . Có bao nhiêu hàm số có tập xác định là $ℝ$ ?