Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD=a; AB=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (AMN)

Đáp án A

- Tính thể tích chóp S.ABCD, sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson tính thể tích khối chóp $V_{S.AMN}$.

- Sử dụng công thức $V_{S.AMN}=\frac{1}{3}d\left(S;\left(AMN\right)\right).S_{AMN}\Rightarrow d\left(S;\left(AMN\right)\right)=\frac{3V_{S.AMN}}{S_{AMN}}$.

- Sử dụng định lí Pytago, định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông, tính chất đường trung bình của tam giác tính độ dài các cạnh của tam giác AMN, sau đó sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác AMN: $S_{AMN}=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AN\right)\left(p-MN\right)}$ với p là nửa chu vi $∆AMN$.

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông SAB, SAD, ABD ta có

$$\begin{gathered} SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4a^2+4a^2}=2\sqrt{2}a \\ SD=\sqrt{\mathit{S}{\mathit{A}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{A}{\mathit{D}}^{\mathit{2}}}=\sqrt{\mathit{4}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}}=\sqrt{\mathit{5}}a \\ BD=\sqrt{\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{A}{\mathit{D}}^{\mathit{2}}}=\sqrt{\mathit{4}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}\mathit{+}{\mathit{a}}^{\mathit{2}}}=\sqrt{\mathit{5}}a \end{gathered}$$

Khi đó ta có $AM=\frac{1}{2}SB=\sqrt{2}a; AN=\frac{1}{2}SD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ (đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: MN là đường trung bình của $∆SBD$ nên $MN=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Gọi p là nửa chu vi tam giác AMN ta có: $p=\frac{AM+AN+MN}{2}=\frac{\sqrt{2}a+\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}a$.

⇒ Diện tích tam giác AMN là $S_{AMN}=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AN\right)\left(p-MN\right)}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}$

Ta có: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABD}=\frac{1}{8}{V}_{S.ABCD}$ .

Mà $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.2a.2a.a=\frac{4a^3}{3}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{1}{8}.\frac{4a^3}{3}=\frac{a^3}{6}$ .

Lại có $V_{S.AMN}=\frac{1}{3}d\left(S;\left(AMN\right)\right).S_{AMN}$, do đó $d\left(S;\left(AMN\right)\right)=\frac{3V_{S.AMN}}{S_{AMN}}=\frac{3.\frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{6}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Vậy $d\left(S;\left(AMN\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}$