Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [-12;12] để hàm số $g\left(x\right)=\left|2f\left(x-1\right)+m\right|$ có đúng 5 điểm cực trị?

Đáp án C

Hàm đa thức $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có số điểm cực trị là m+n trong đó m là số điểm cực trị của hàm số y=f(x), n là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành.

Xét hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x-1\right)+m$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x-1\right)=0\iff f\text{'}\left(x-1\right)=0$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình f'(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt, do đó phương trình f'(x-1)=0 cũng có 3 nghiệm phân biệt, và là 3 nghiệm bội lẻ, nên hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x-1\right)+m$ có 3 điểm cực trị.

Để hàm số $g\left(x\right)=\left|2f\left(x-1\right)+m\right|$ có đúng 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x-1\right)+m$ phải cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

$\Rightarrow 2f\left(x-1\right)+m=0\iff f\left(x-1\right)=-\frac{m}{2}$ phải có 2 nghiệm phân biệt (các nghiệm cắt qua, không tính điểm tiếp xúc).

$\Rightarrow [\begin{array}{c}-\frac{m}{2}\ge 2\\ -6<-\frac{m}{2}\le -3\end{array}\iff [\begin{array}{c}m\le -4\\ 6\le m<12\end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m\in \left[-12;-4\right]\cup \left[6;12\right), m\in Z$

Vậy có 15 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.