Cho các số thực x,y thỏa mãn $4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2}$. Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x-2y+1}{x+y+4}$. Tổng M+m bằng

Đáp án A

- Đặt ẩn phụ $t=2^{x^2+4y^2} \left(t\ge 1\right)$, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa x,y dạng ${\left(ax\right)}^2+{\left(by\right)}^2=1$.

- Đặt $\left\{\begin{array}{l}ax=\sin \alpha \\ by=\cos \alpha \end{array}\right.$, thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A\sin \alpha +B\cos \alpha =C$. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định M, m.

Ta có:

$$\begin{gathered} 4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2} \\ \iff {\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2-2.2^{x^2+4y^2}=\frac{8}{2^{x^2+4y^2}}-\frac{16}{{\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2} \end{gathered}$$

Đặt $t=2^{x^2+4y^2} \left(t\ge 1\right)$, phương trình trở thành:

$$\begin{gathered} t^2-2t=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^2}\iff t^2-2t=\frac{8t-16}{t^2} \\ \Rightarrow t^3\left(t-2\right)=8\left(t-2\right) \\ \Rightarrow \left(t^3-8\right)\left(t-2\right)=0 \\ \iff {\left(t-2\right)}^2\left(t^2+2t+4\right)=0 \\ \iff t=2 \left(tm\right) \left(do t^2+2t+4>0 \forall t\right) \end{gathered}$$

Với $2^{x^2+4y^2}=2\iff x^2+4y^2=1$. Khi đó tồn tại $\alpha$ sao cho $\left\{\begin{array}{l}x=\sin \alpha \\ 2y=\cos \alpha \end{array}\right.$.

Ta có:

$$\begin{gathered} P=\frac{x-2y-1}{x+y+4}=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha -1}{\sin \alpha +\frac{1}{2}\cos \alpha +4} \\ \iff P\sin \alpha +\frac{1}{2}P\cos \alpha +4P=\sin \alpha -\cos \alpha -1 \\ \iff \left(P-1\right)\sin \alpha +\left(\frac{1}{2}P+1\right)\cos \alpha =-1-4P \left(*\right) \end{gathered}$$

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(P-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}P+1\right)}^2\ge {\left(-1-4P\right)}^2 \\ \iff P^2-2P+1+\frac{1}{4}{P}^2+P+1\ge 16P^2+8P+1 \\ \iff \frac{59}{4}{P}^2+9P-1\le 0\iff \frac{-18-4\sqrt{35}}{59}\le P\le \frac{-18+4\sqrt{35}}{59} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M=\frac{-18+4\sqrt{35}}{59}\\ m=\frac{-18-4\sqrt{35}}{59}\end{array}\right.\Rightarrow M+m=-\frac{36}{59} \end{gathered}$$