Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 2) x$ đồng biến trên khoảng $(12; + \infty) ?$

A. 10

B. 0

C. 13

D. 11

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Tập xác định: $D = ℝ$ .

$y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 2)$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 = 0.$

Ta có: $Δ' = 2 > 0, \forall m$ nên y'=0 luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} .$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} . x_{2} = m^{2} - 2 \end{cases} .$

Hàm số đồng biến trên $(12; + \infty) \Leftrightarrow x_{1} < x_{2} \leq 12$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (x_{1} - 12) (x_{2} - 12) \geq 0 \\ \frac{x_{1} + x_{2}}{2} < 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} . x_{2} - 12 (x_{1} + x_{2}) + 144 \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} < 24 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 2 - 12.2 m + 144 \geq 0 \\ 2 m < 24 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 24 m + 142 \geq 0 \\ m < 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \leq 12 - \sqrt{2} \\ m \geq 12 + \sqrt{2} \end{array} \\ m < 12 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 12 - \sqrt{2} .$

Do $m \in ℤ^{+} \Rightarrow m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128$ là?

$A . [6; + \infty) .$

$B . [8; + \infty) .$

$C . (- \infty; 8] .$

$D . (- \infty; - 6] .$

Lời giải

Chọn D.

${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128 \Leftrightarrow x - 1 \leq - 7 \Leftrightarrow x \leq 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - 6] .$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 - a x}{b x - c} (a, b, c \in ℝ, b \neq 0)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số a,b,c có bao nhiêu số âm?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Lời giải

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty);$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

* $y' = {(\frac{2 - a x}{b x - c})}^{'} = \frac{(2 - a x)' (b x - c) - (2 - a x) (b x - c)'}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{- a b x + a c + a b x - 2 b}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{a c - 2 b}{{(b x - c)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow a c - 2 b > 0 \Leftrightarrow a c > 2 b (1)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1 \Leftrightarrow b .1 - c = 0 \Leftrightarrow b = c (2)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{2 - a x}{b x - c} = 3 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow a = - 3 b (3)$