Cho hàm số $f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x + 1} + m,$ đặt $P = \max_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} + \min_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị của P không vượt quá 26?

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B.

Xét $f (x) = x - 3 \sqrt[3]{x + 1} + m$ liên tục trên $ℝ$ . Với $x \neq - 1$ ta có $f' (x) = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{{(x + 1)}^{2}}}$

$f' (x) = 0 \Rightarrow x = - 2; x = 0$

Có $f (- 1) = m - 1; f (0) = m - 3; f (7) = m + 1 \Rightarrow \max_{[- 1; 7]} f (x) = m + 1; \min_{[- 1; 7]} f (x) = m - 3$

TH1: Với $(m + 1) (m - 3) \leq 0 \Leftrightarrow m \in [- 1; 3] \Rightarrow \{\begin{cases} 0 \leq m + 1 \leq 4 \\ - 4 \leq m - 3 \leq 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 16 \\ 0 \leq {(m - 3)}^{2} \leq 16 \end{cases}$

Khi đó ta có $\min_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} = 0; \max_{[- 1; 7]} {[f (x)]}^{2} = \max \{{(m + 1)}^{2}; {(m - 3)}^{2}\} \leq 16 \Rightarrow P \leq 16.$ Vậy các giá trị $m \in [- 1; 3]$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: Với $(m + 1) (m - 3) > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty - 1) \cup (3; + \infty) \Rightarrow P = {(m + 1)}^{2} + {(m - 3)}^{2} = 2 m^{2} - 4 m + 10$

Theo bài $P \leq 26 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 4 m + 10 \leq 26 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 8 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [- 2; 4] \Rightarrow m \in [- 2; 1) \cup (3; 4]$

Kết hợp hai trường hợp suy ra $m \in [- 2; 4] \Rightarrow$ có 7 giá trị nguyên của m.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128$ là?

$A . [6; + \infty) .$

$B . [8; + \infty) .$

$C . (- \infty; 8] .$

$D . (- \infty; - 6] .$

Lời giải

Chọn D.

${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128 \Leftrightarrow x - 1 \leq - 7 \Leftrightarrow x \leq 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - 6] .$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 - a x}{b x - c} (a, b, c \in ℝ, b \neq 0)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số a,b,c có bao nhiêu số âm?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Lời giải

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty);$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

* $y' = {(\frac{2 - a x}{b x - c})}^{'} = \frac{(2 - a x)' (b x - c) - (2 - a x) (b x - c)'}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{- a b x + a c + a b x - 2 b}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{a c - 2 b}{{(b x - c)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow a c - 2 b > 0 \Leftrightarrow a c > 2 b (1)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1 \Leftrightarrow b .1 - c = 0 \Leftrightarrow b = c (2)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{2 - a x}{b x - c} = 3 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow a = - 3 b (3)$