Cho các số thực x;y với x≥0 thỏa mãn ex+3y+exy+1+xy+1+1=e−xy−1+1ex+3y−3y. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+2y+1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m∈2;3. B. m∈-1;0. C. m∈0;1. D. m∈1;2.

Chọn C.+ Ta có ex+3y+exy+1+xy+1+1=e−xy−1+1ex+3y−3y⇔ex+3y−1ex+3y+x+3y=e−xy−1−1e−xy−1+−xy−1*.+ Đặt ft=et−1et+t⇒f't=et+1et+1>0,∀t∈ℝ. Nên hàm số f(t) đồng biến trên ℝ nên *⇔fx+3y=f−xy−1. Do đó x+3y=−xy−1⇔y=−x+1x+3⇒T=x+1−2x+2x+3=gxg't=1−4x+32≥0,∀x≥0 nên g(x) đồng biến trên 0;+∞. Suy ra MinT=Min0;+∞gx=g0=13.

Câu hỏi:

28/08/2021 191

Cho các số thực x;y với $x \geq 0$ thỏa mãn $e^{x + 3 y} + e^{x y + 1} + x (y + 1) + 1 = e^{- x y - 1} + \frac{1}{e^{x + 3 y}} - 3 y .$ Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = x + 2 y + 1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

$A . m \in (2; 3) .$

$B . m \in (- 1; 0) .$

$C . m \in (0; 1) .$

$D . m \in (1; 2) .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

+ Ta có $e^{x + 3 y} + e^{x y + 1} + x (y + 1) + 1 = e^{- x y - 1} + \frac{1}{e^{x + 3 y}} - 3 y \Leftrightarrow e^{x + 3 y} - \frac{1}{e^{x + 3 y}} + x + 3 y = e^{- x y - 1} - \frac{1}{e^{- x y - 1}} + (- x y - 1) (*) .$

+ Đặt $f (t) = e^{t} - \frac{1}{e^{t}} + t \Rightarrow f' (t) = e^{t} + \frac{1}{e^{t}} + 1 > 0, \forall t \in ℝ .$ Nên hàm số f(t) đồng biến trên $ℝ$ nên $(*) \Leftrightarrow f (x + 3 y) = f (- x y - 1) .$ Do đó $x + 3 y = - x y - 1 \Leftrightarrow y = - \frac{x + 1}{x + 3} \Rightarrow T = x + 1 - \frac{2 x + 2}{x + 3} = g (x)$

$g' (t) = 1 - \frac{4}{{(x + 3)}^{2}} \geq 0, \forall x \geq 0$ nên g(x) đồng biến trên $[0; + \infty) .$ Suy ra $M i n T = \underset{[0; + \infty)}{M i n} g (x) = g (0) = \frac{1}{3} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128$ là?

$A . [6; + \infty) .$

$B . [8; + \infty) .$

$C . (- \infty; 8] .$

$D . (- \infty; - 6] .$

Lời giải

Chọn D.

${(\frac{1}{2})}^{x - 1} \geq 128 \Leftrightarrow x - 1 \leq - 7 \Leftrightarrow x \leq 6.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; - 6] .$

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 - a x}{b x - c} (a, b, c \in ℝ, b \neq 0)$ có bảng biến thiên như sau:
Trong các số a,b,c có bao nhiêu số âm?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Lời giải

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty);$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

* $y' = {(\frac{2 - a x}{b x - c})}^{'} = \frac{(2 - a x)' (b x - c) - (2 - a x) (b x - c)'}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{- a b x + a c + a b x - 2 b}{{(b x - c)}^{2}} = \frac{a c - 2 b}{{(b x - c)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty) \Leftrightarrow y' > 0 \Leftrightarrow a c - 2 b > 0 \Leftrightarrow a c > 2 b (1)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1 \Leftrightarrow b .1 - c = 0 \Leftrightarrow b = c (2)$

* Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{2 - a x}{b x - c} = 3 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} = 3 \Leftrightarrow a = - 3 b (3)$