Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình $f\left(xf\left(x\right)\right)-2=0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt

Đáp án D

- Đặt $t=xf\left(x\right)\Rightarrow f\left(t\right)=2$. Sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải phương trình tìm t.

- Cô lập f(x), tiếp tục sử dụng tương giao hàm số để giải phương trình.

- Sử dụng kĩ năng chọn đại diện 1 số cụ thể thỏa mãn điều kiện, để bài toán đơn giản hơn.

Đặt t=xf(x) ta có: $f\left(t\right)-2=0\iff f\left(t\right)=2$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f(t)=2 có 3 nghiệm phân biệt $[\begin{array}{c}t=a\in \left(-4;-2\right)\\ t=0\\ t=b\in \left(0;2\right)\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}xf\left(x\right)=a\in \left(-4;-2\right)\\ xf\left(x\right)=0\\ xf\left(x\right)=b\in \left(0;2\right)\end{array}\iff [\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{a}{x} \left(x\ne 0\right); a\in \left(-4;-2\right)\\ x=0\\ f\left(x\right)=0\iff x=-4\\ f\left(x\right)=\frac{b}{x} \left(x\ne 0\right); b\in \left(0;2\right)\end{array}$

Chọn a=-3, xét phương trình $f\left(x\right)=-\frac{3}{x} \left(1\right)$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và $y=-\frac{3}{x}$.

Chọn b=1, xét phương trình $f\left(x\right)=\frac{1}{x} \left(2\right)$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và $y=\frac{1}{x}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.