Cho hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f\left({\log }_{2}x-m\right)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in \left(1;16\right)$

Chọn C.

Xét hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}.$

Tập xác định: D=R

Ta có:

$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D;f\left(-x\right)={2020}^{-x}-{2020}^x=-\left({2020}^x-{2020}^{-x}\right)=-f\left(x\right)$

Vậy hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ là hàm số lẻ.

Lại có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)={2020}^x.\ln 2020-{2020}^{-x}.\ln 2020.\left(-x\right)\text{'} \\ ={2020}^x.\ln 2020+{2020}^{-x}.\ln 2020>0\forall x\in D \end{gathered}$$

Do đó hàm số $f\left(x\right)={2020}^x-{2020}^{-x}$ luôn đồng biến trên R

Theo đề bài ta có:

$$\begin{gathered} f\left({\log }_{2}x-m\right)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0 \\ \iff f\left({\log }_{2}x-m\right)=-f\left({\log }_2^{3}x\right) \\ \iff f\left({\log }_{2}x-m\right)=f\left(-{\log }_2^{3}x\right) \end{gathered}$$

(Do f(x) là hàm số lẻ)

Mặt khác hàm số f(x) luôn đồng biến trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất:

${\log }_{2}x-m=-{\log }_2^{3}x\iff m={\log }_2^{3}x+{\log }_{2}x$

Đặt ${\log }_{2}x=1.$ Với $x\in \left(1;16\right)\Rightarrow t\in \left(0;4\right).$

Yêu cầu bài toán trở thành, tìm m để phương trình:

$m=t^3+t$ có nghiệm $t\in \left(0;4\right).$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$ trên khoảng (0;4)

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+t>0\forall t$ nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;4)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, để phương trình có nghiệm trên khoảng (0;4) thì: 0<m<68

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình $f\left({\log }_{2}x-m\right)+f\left({\log }_2^{3}x\right)=0$ có nghiệm $x\in \left(1;16\right)$ lầ m=67