Một số học sinh nắm tay nhau xếp thành vòng tròn lớn tham gia hoạt động tập thể. Thầy An đi quanh vòng tròn và gắn cho học sinh một số thứ tự 1; 2; 3; 4; 5; … (Hình 4) và nhận thấy học sinh được gắn số 12 đối diện với học sinh được gắn số 30. Thầy tách các học sinh được gắn số từ 1 đến 12 vào nhóm 1 và từ 30 đến số cuối cùng vào nhóm 2. Thầy muốn chia các học sinh của mỗi nhóm vào các câu lạc bộ (số câu lạc bộ nhiều hơn 1) sao cho số học sinh ở từng nhóm của mỗi câu lạc bộ là như nhau.

a) Thầy An có bao nhiêu cách để chia học sinh vào các câu lạc bộ.

b) Số câu lạc bộ nhiều nhất mà thầy An có thể chia là bao nhiêu.

a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau: 1; 5; 13; 15; 35; 53?

b) Tìm ƯCLN(27, 156).

c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó tìm các ước chung của 424, 636.

Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:

a) $\frac{12}{24}; \frac{13}{39}; \frac{35}{105}$

b) $\frac{120}{245}; \frac{134}{402}; \frac{213}{852}$

c) $\frac{234}{1170}; \frac{1221}{3663}; \frac{2133}{31995}$.

Một lớp học có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành các tổ sao cho số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất?

Tìm các số tự nhiên a, b, biết:

a) a + b = 192 và ƯCLN(a, b) = 24;

b) ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6.

Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:

a) n + 2 và n + 3;

b) 2n + 1 và 9n + 4.

Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Tìm số tự nhiên a, biết:

a) 388 chia cho a thì dư 38, còn 508 chia cho a thì dư 18;

b) 1 012 và 1 178 khi chia cho a đều có số dư là 16.