Lịch cập cảng của ba tàu như sau: tàu thứ nhất cứ 5 ngày cập cảng một lần; tàu thứ hai cứ 8 ngày cập cảng một lần; tàu thứ ba cứ 10 ngày cập cảng một lần. Vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng cập cảng?

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x > 1).

Vì x chia cho 3 dư 1, chia cho 5 dư 1 nên x – 1 chia hết cho 3 và 5.

Mà x chia cho 4 dư 3 nên x có dạng 4a + 3 với a là số tự nhiên.

Suy ra x – 1 = 4a + 3 – 1 = 4a + 2 chia hết cho 3 và 5.

Hơn nữa 4a + 2 = 2.(2a + 1) chia hết cho 2.

Do đó x – 1 chia hết cho 2, 3 và 5 hay x – 1 là bội chung của 2, 3 và 5.

Mà x là số tự nhiên nhỏ nhất nên x – 1 cũng nhỏ nhất. Do đó x – 1 là BCNN(2, 3, 5).

Ta có 2 = 2, 3 = 3, 5 = 5.

Khi đó BCNN(2, 3, 5) = 2.3.5 = 30.

x – 1 = 30

x = 31.

Vậy x = 31.

Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 1).

Do a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên 2a chia cho 3, 5, 7 dư 1.

Suy ra 2a – 1 chia hết cho 3, 5, 7 hay 2a – 1 là bội chung của 3, 5, 7.

Như vậy để a là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 2a – 1 phải là BCNN(3, 5, 7).

Ta có 3 = 3, 5 = 5, 7 = 7.

Khi đó BCNN(3, 5, 7) = 3.5.7 = 105 nên 2a – 1 = 105 suy ra a = 53.

Vậy số cần tìm là 53.