Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$  là hình chữ nhật với $AD=a,AB=2a$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng $\left(AMN\right)$ .

Phương pháp giải:

- Tính thể tích chóp $S.ABCD$, sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson tính thể tích khối chóp $V_{S.AMN}$.

- Sử dụng công thức

$S_{AMN}=\sqrt{p(p-AM)(p-AN)(p-MN)}$ với p là nửa chu vi $\Delta AMN$.

Giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông $SAB,SAD,ABD$ ta có:

$SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{4a^2+4a^2}=2\sqrt{2}a$

$SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=\sqrt{5}a$

$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=\sqrt{5}a$

Khi đó ta có $AM=\frac{1}{2}SB=\sqrt{2}a;AN=\frac{1}{2}SD=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ (đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Ta có: MN là đường trung bình của $\Delta SBD$ nên $MN=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Gọi p là nửa chu vi tam giác $AMN$ ta có: $p=\frac{AM+AN+MN}{2}=\frac{\sqrt{2}a+\frac{a\sqrt{5}}{2}+\frac{a\sqrt{5}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}a$.

⇒ Diện tích tam giác $AMN$ là $S_{AMN}=\sqrt{p(p-AM)(p-AN)(p-MN)}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}$

Ta có: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}=\frac{1}{4}$ $\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABD}=\frac{1}{8}{V}_{S.ABCD}$.

Mà $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.2a.2a.a=\frac{4a^3}{3}$ $\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{1}{8}.\frac{4a^3}{3}=\frac{a^3}{6}$.

Lại có $V_{S.AMN}=\frac{1}{3}d(S;\left(AMN\right)).S_{AMN}$, do đó $d(S;\left(AMN\right))=\frac{3V_{S.AMN}}{S_{AMN}}=\frac{3.\frac{a^3}{6}}{\frac{a^2\sqrt{6}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Vậy $d(S;\left(AMN\right))=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Đáp án A.