Câu hỏi:

23/04/2022 496

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x - 2 y + 1}{x + y + 4}$ . Tổng $M + m$ bằng:

A. $\frac{7}{17}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{7}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa $x, y$ dạng ${(a x)}^{2} + {(b y)}^{2} = 1$ .

- Đặt ${\begin{cases} a x = \sin α \\ b y = \cos α \end{cases}$ , thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A \sin α + B \cos α = C$ . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M, m$ .

Giải chi tiết:

Ta có:

$4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$

$\Leftrightarrow {(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2} - {2.2}^{x^{2} + 4 y^{2}} = \frac{8}{2^{x^{2} + 4 y^{2}}} - \frac{16}{{(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2}}$

Đặt $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , phương trình trở thành:

$t^{2} - 2 t = \frac{8}{t} - \frac{16}{t^{2}}$ $\Leftrightarrow t^{2} - 2 t = \frac{8 t - 16}{t^{2}}$

$\Rightarrow t^{3} (t - 2) = 8 (t - 2)$

$\Rightarrow (t^{3} - 8) (t - 2) = 0$

$\Leftrightarrow {(t - 2)}^{2} (t^{2} + 2 t + 4) = 0$ $\Leftrightarrow t = 2 (t m) (d o t^{2} + 2 t + 4 > 0 \forall t)$

Với $2^{x^{2} + 4 y^{2}} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 4 y^{2} = 1$ . Khi đó tồn tại $α$ sao cho ${\begin{cases} x = \sin α \\ 2 y = \cos α \end{cases}$ .

Ta có:

$P = \frac{x - 2 y - 1}{x + y + 4} = \frac{\sin α - \cos α - 1}{\sin α + \frac{1}{2} \cos α + 4}$

$\Leftrightarrow P \sin α + \frac{1}{2} P \cos α + 4 P = \sin α - \cos α - 1$

$\Leftrightarrow (P - 1) \sin α + (\frac{1}{2} P + 1) \cos α = - 1 - 4 P (*)$

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

$\Rightarrow {(P - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} P + 1)}^{2} \geq {(- 1 - 4 P)}^{2}$

$\Leftrightarrow P^{2} - 2 P + 1 + \frac{1}{4} P^{2} + P + 1 \geq 16 P^{2} + 8 P + 1$

$\Leftrightarrow \frac{59}{4} P^{2} + 9 P - 1 \leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \leq P \leq \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59}$

$\Rightarrow {\begin{cases} M = \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59} \\ m = \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \end{cases} \Rightarrow M + m = - \frac{36}{59}$

Đáp án A

Bình luận

Câu 1:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

A. $\frac{12}{36}$

B. $\frac{11}{36}$

C. $\frac{6}{36}$

D. $\frac{8}{36}$

Xem đáp án » 25/03/2022 25,189

Câu 2:

Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $a > 0$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $b > 0, c > 0, d < 0$

B. $b > 0, c < 0, d < 0$

C. $b < 0, c < 0, d < 0$

D. $b < 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án » 23/04/2022 4,911

Câu 3:

Nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là:

A. $x = 1$

B. $x = 2$

C. $x = 4$

D. $x = 5$

Xem đáp án » 23/04/2022 4,089

Câu 4:

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án » 23/04/2022 2,968

Câu 5:

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > 1$ .

A. $S = (1; \frac{3}{2})$

B. $S = [1; \frac{3}{2})$

C. $S = (- \infty; \frac{3}{2})$

D. $S = (\frac{3}{2}; + \infty)$

Xem đáp án » 23/04/2022 2,937

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn $[- 12; 12]$ để hàm số $g (x) = | 2 f (x - 1) + m |$ có đúng 5 điểm cực trị?

A.13

B.14

C.15

D.12

Xem đáp án » 23/04/2022 2,428

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $f^{'} (x)$ là parabol như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

B.Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$

C.Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$

D.Hàm số đồng biến trên $(- 1; 3)$

Xem đáp án » 23/04/2022 2,410

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x - 2 y + 1}{x + y + 4}$ . Tổng $M + m$ bằng:

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $a > 0$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là:

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > 1$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn $[- 12; 12]$ để hàm số $g (x) = | 2 f (x - 1) + m |$ có đúng 5 điểm cực trị?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $f^{'} (x)$ là parabol như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho các số thực x,y thỏa mãn 4x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2 . Gọi m,M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x−2y+1x+y+4 . Tổng M+mbằng:

Bình luận

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

Hàm số y=ax+bcx+d với a>0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình 32x−1=27 là:

Hỏi trên [0;π2) , phương trình sinx=12 có bao nhiêu nghiệm?

Giải bất phương trình log12(x−1)>1.

Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [−12;12] để hàm số g(x)=|2f(x−1)+m| có đúng 5 điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f'(x) là parabol như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x - 2 y + 1}{x + y + 4}$ . Tổng $M + m$ bằng:

Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $a > 0$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là:

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > 1$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn $[- 12; 12]$ để hàm số $g (x) = | 2 f (x - 1) + m |$ có đúng 5 điểm cực trị?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $f^{'} (x)$ là parabol như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?