Câu hỏi:

23/04/2022 505

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x - 2 y + 1}{x + y + 4}$ . Tổng $M + m$ bằng:

A. $\frac{7}{17}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{7}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa $x, y$ dạng ${(a x)}^{2} + {(b y)}^{2} = 1$ .

- Đặt ${\begin{cases} a x = \sin α \\ b y = \cos α \end{cases}$ , thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A \sin α + B \cos α = C$ . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M, m$ .

Giải chi tiết:

Ta có:

$4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$

$\Leftrightarrow {(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2} - {2.2}^{x^{2} + 4 y^{2}} = \frac{8}{2^{x^{2} + 4 y^{2}}} - \frac{16}{{(2^{x^{2} + 4 y^{2}})}^{2}}$

Đặt $t = 2^{x^{2} + 4 y^{2}} (t \geq 1)$ , phương trình trở thành:

$t^{2} - 2 t = \frac{8}{t} - \frac{16}{t^{2}}$ $\Leftrightarrow t^{2} - 2 t = \frac{8 t - 16}{t^{2}}$

$\Rightarrow t^{3} (t - 2) = 8 (t - 2)$

$\Rightarrow (t^{3} - 8) (t - 2) = 0$

$\Leftrightarrow {(t - 2)}^{2} (t^{2} + 2 t + 4) = 0$ $\Leftrightarrow t = 2 (t m) (d o t^{2} + 2 t + 4 > 0 \forall t)$

Với $2^{x^{2} + 4 y^{2}} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + 4 y^{2} = 1$ . Khi đó tồn tại $α$ sao cho ${\begin{cases} x = \sin α \\ 2 y = \cos α \end{cases}$ .

Ta có:

$P = \frac{x - 2 y - 1}{x + y + 4} = \frac{\sin α - \cos α - 1}{\sin α + \frac{1}{2} \cos α + 4}$

$\Leftrightarrow P \sin α + \frac{1}{2} P \cos α + 4 P = \sin α - \cos α - 1$

$\Leftrightarrow (P - 1) \sin α + (\frac{1}{2} P + 1) \cos α = - 1 - 4 P (*)$

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

$\Rightarrow {(P - 1)}^{2} + {(\frac{1}{2} P + 1)}^{2} \geq {(- 1 - 4 P)}^{2}$

$\Leftrightarrow P^{2} - 2 P + 1 + \frac{1}{4} P^{2} + P + 1 \geq 16 P^{2} + 8 P + 1$

$\Leftrightarrow \frac{59}{4} P^{2} + 9 P - 1 \leq 0$ $\Leftrightarrow \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \leq P \leq \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59}$

$\Rightarrow {\begin{cases} M = \frac{- 18 + 4 \sqrt{35}}{59} \\ m = \frac{- 18 - 4 \sqrt{35}}{59} \end{cases} \Rightarrow M + m = - \frac{36}{59}$

Đáp án A

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

A. $\frac{12}{36}$

B. $\frac{11}{36}$

C. $\frac{6}{36}$

D. $\frac{8}{36}$

Lời giải

Phương pháp giải:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”, tính số phần tử của biến cố đối $\bar{A}$ .

- Sử dụng công thức $P (A) = 1 - P (\bar{A})$ .

Giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = 6^{2} = 36$ .

Gọi A là biến cố: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”, suy ra biến cố đối $\bar{A}$ : “không có lần nào xuất hiện mặt 6 chấm” $\Rightarrow n (\bar{A}) = 5^{2} = 25$ .

Vậy xác suất của biến cố A là: $P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Đáp án B

Câu 2

Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $a > 0$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $b > 0, c > 0, d < 0$

B. $b > 0, c < 0, d < 0$

C. $b < 0, c < 0, d < 0$

D. $b < 0, c > 0, d < 0$

Lời giải

Phương pháp giải:

- Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có TCN $y = \frac{a}{c}$ , TCĐ $x = - \frac{d}{c}$ .

- Dựa vào đường TCN và dấu của hệ số a suy ra dấu của hệ số c.

- Dựa vào đường TCĐ và dấu của hệ số c suy ra dấu của hệ số d.

- Dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung suy ra dấu của hệ số b.

Giải chi tiết:

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có TCN $y = \frac{a}{c}$ , TCĐ $x = - \frac{d}{c}$ .

Vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành nên $\frac{a}{c} > 0$ , mà $a > 0$ nên $c > 0$ .

Vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng nằm phía bên phải trục tung nên $- \frac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow \frac{d}{c} < 0$ , mà $c > 0 \Rightarrow d < 0$

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nằm phía dưới trục hoành nên $\frac{b}{d} < 0$ , mà $d < 0 \Rightarrow b > 0$

Vậy $b > 0, c > 0, d < 0$ .

Đáp án A.

Câu 3

Nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là:

A. $x = 1$

B. $x = 2$

C. $x = 4$

D. $x = 5$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > 1$ .

A. $S = (1; \frac{3}{2})$

B. $S = [1; \frac{3}{2})$

C. $S = (- \infty; \frac{3}{2})$

D. $S = (\frac{3}{2}; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A.1

B.2

C.3

D.4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn $[- 12; 12]$ để hàm số $g (x) = | 2 f (x - 1) + m |$ có đúng 5 điểm cực trị?

A.13

B.14

C.15

D.12

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình $f (x f (x)) - 2 = 0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt.

A.3

B.4

C.5

D.6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho các số thực x,y thỏa mãn 4x2+4y2−2x2+4y2+1=23−x2−4y2−42−x2−4y2 . Gọi m,M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x−2y+1x+y+4 . Tổng M+mbằng:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

Hàm số y=ax+bcx+d với a>0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình 32x−1=27 là:

Giải bất phương trình log12(x−1)>1.

Hỏi trên [0;π2) , phương trình sinx=12 có bao nhiêu nghiệm?

Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn [−12;12] để hàm số g(x)=|2f(x−1)+m| có đúng 5 điểm cực trị?

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f(xf(x))−2=0có bao nhiêu nghiệm phân biệt.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $4^{x^{2} + 4 y^{2}} - 2^{x^{2} + 4 y^{2} + 1} = 2^{3 - x^{2} - 4 y^{2}} - 4^{2 - x^{2} - 4 y^{2}}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{x - 2 y + 1}{x + y + 4}$ . Tổng $M + m$ bằng:

Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với $a > 0$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình $3^{2 x - 1} = 27$ là:

Giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > 1$ .

Hỏi trên $[0; \frac{π}{2})$ , phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có bao nhiêu nghiệm?

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc đoạn $[- 12; 12]$ để hàm số $g (x) = | 2 f (x - 1) + m |$ có đúng 5 điểm cực trị?

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình $f (x f (x)) - 2 = 0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt.