Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2}$ . Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x-2y+1}{x+y+4}$ . Tổng $M+m$bằng:

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ $t=2^{x^2+4y^2}(t\ge 1)$, đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm t.

- Tìm mối quan hệ giữa $x,y$ dạng ${\left(ax\right)}^2+{\left(by\right)}^2=1$.

- Đặt $\{\begin{array}{l}ax=\sin \alpha \\ by=\cos \alpha \end{array}$, thế vào biểu thức P.

- Quy đồng, đưa biểu thức về dạng $A\sin \alpha +B\cos \alpha =C$. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó xác định $M,m$.

Giải chi tiết:

Ta có:

$4^{x^2+4y^2}-2^{x^2+4y^2+1}=2^{3-x^2-4y^2}-4^{2-x^2-4y^2}$

$\iff {\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2-{2.2}^{x^2+4y^2}=\frac{8}{2^{x^2+4y^2}}-\frac{16}{{\left(2^{x^2+4y^2}\right)}^2}$

Đặt $t=2^{x^2+4y^2}(t\ge 1)$, phương trình trở thành:

$t^2-2t=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^2}$$\iff t^2-2t=\frac{8t-16}{t^2}$

$\Rightarrow t^3(t-2)=8(t-2)$

$\Rightarrow (t^3-8)(t-2)=0$

$\iff {(t-2)}^2(t^2+2t+4)=0$$\iff t=2\left(tm\right)(do{t}^2+2t+4>0\forall t)$

Với $2^{x^2+4y^2}=2\iff x^2+4y^2=1$. Khi đó tồn tại $\alpha$ sao cho $\{\begin{array}{l}x=\sin \alpha \\ 2y=\cos \alpha \end{array}$.

Ta có:

$P=\frac{x-2y-1}{x+y+4}=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha -1}{\sin \alpha +\frac{1}{2}\cos \alpha +4}$

$\iff P\sin \alpha +\frac{1}{2}P\cos \alpha +4P=\sin \alpha -\cos \alpha -1$

$\iff (P-1)\sin \alpha +(\frac{1}{2}P+1)\cos \alpha =-1-4P(*)$

Để P tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm

$\Rightarrow {(P-1)}^2+{(\frac{1}{2}P+1)}^2\ge {(-1-4P)}^2$

$\iff P^2-2P+1+\frac{1}{4}{P}^2+P+1\ge 16P^2+8P+1$

$\iff \frac{59}{4}{P}^2+9P-1\le 0$$\iff \frac{-18-4\sqrt{35}}{59}\le P\le \frac{-18+4\sqrt{35}}{59}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}M=\frac{-18+4\sqrt{35}}{59}\\ m=\frac{-18-4\sqrt{35}}{59}\end{array}\Rightarrow M+m=-\frac{36}{59}$

Đáp án A