Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là $-\mathrm{1,}\frac{1}{3},\frac{1}{2}$. Hỏi phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$.

Chọn C.

Vì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f(x) là hàm số bậc 3

\( \Rightarrow a \ne 0.\)

Từ giả thiết ta có: $f\left(x\right)=a(x+1)(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{2})\iff f\left(x\right)=\frac{1}{6}a(6x^3+x^2-4x+1).$

Khi đó: $y\text{'}=\frac{1}{6}a(18x^2+2x-4)=0\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{18}$

Suy ra đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.

Từ đó ta có phương trình $f\left[\sin \left(x^2\right)\right]=f\left(0\right)\iff [\begin{array}{l}\sin \left(x^2\right)=a_1\in (-1;0)\left(1\right)\\ \sin \left(x^2\right)=0\left(2\right)\\ \sin \left(x^2\right)=a_2\in (\frac{1}{2};1]\left(3\right)\end{array}$

* Giải (1)

Vì $x\in [-\sqrt{\pi };\sqrt{\pi }]$ nên $x^2\in [0;\pi ]\Rightarrow \sin \left(x^2\right)\in [0;1].$ Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.

* $\left(2\right)\iff x^2=k\pi .$

Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta phải có $0\le k\pi \le k,\pi \in \mathbb{Z}\iff 0\le k\le \mathrm{1,}k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \{0;1\}.$

Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là: $x_1=-\sqrt{\pi };x_2=0;x_3=\sqrt{\pi }.$

* $\left(3\right)\iff [\begin{array}{l}{x}^2=\arcsin a_2+k2\pi \\ x^2=\pi -\arcsin a_2+k2\pi \end{array},$(với $\arcsin a_2\in [\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}]).$

Vì $x^2\in [0;\pi ]$ nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là $x=\pm \sqrt{\arcsin a_2}$ và $x=\pm \sqrt{\pi -\arcsin a_2}.$

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.