Câu hỏi:

25/04/2022 6,485

Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng $45^{0}$ , $A D ⊥ B C$ và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

B. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{6}$

D. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

(VDC): Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng , và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. (ảnh 5)

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

${\begin{cases} A B ⊥ B D \\ A B ⊥ B H \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (B D H) \Rightarrow A B ⊥ D H$

${\begin{cases} A C ⊥ C H \\ A C ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (C D H) \Rightarrow A C ⊥ D H$

$\Rightarrow D H ⊥ (A B C D)$

⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) $\Rightarrow ∠ (A D; (A B C)) = ∠ (A D; A H) = ∠ D A H = 45^{0}$ .

Ta có: ${\begin{cases} B C ⊥ D H (D H ⊥ (A B C D)) \\ B C ⊥ A D (g t) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (A D H) \Rightarrow B C ⊥ A H$ .

$\Rightarrow A B H C$ là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi $O = A H \cap B C$ , trong (ADH) kẻ $O K ⊥ A D (K \in A D)$ ta có:

${\begin{cases} O K ⊥ A D \\ O K ⊥ B C (B C ⊥ (A D H)) \end{cases} \Rightarrow d (A D; B C) = O K = a$ .

Xét tam giác OKA vuông tại K có $∠ O A K = 45^{0}$ nên tam giác OAK vuông cân tại K \[ \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \].

$\Rightarrow A H = 2 O A = 2 \sqrt{2} a$ .

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên $H D = A H = 2 \sqrt{2} a$ .

Ta có: $S_{A B H C} = \frac{1}{2} A H^{2} = \frac{1}{2} (2 \sqrt{2} a^{2}) = 4 a^{2}$ $\Rightarrow S_{A B C} = 2 a^{2}$ .

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} H D . S_{A B C} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{2} a .2 a^{2} = \frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$ .

Đáp án D.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC’.

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a}{4}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

Lời giải

(VD): Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC’. (ảnh 4)

Gọi N là trung điểm của CC’ $\Rightarrow M N$ là đường trung bình của tam giác BCC’.

\[ \Rightarrow MN//BC' \Rightarrow BC'//\left( {AMN} \right) \supset AM\].

Khi đó ta có $d (A M; B C^{'}) = d (B C^{'}; (A M N)) = d (B; (A M N))$ .

Ta có: $B C \cap (A M N) = M \Rightarrow \frac{d (B; (A M N))}{d (C; (A M N))} = \frac{B M}{C M} = 1$ $\Rightarrow d (B; (A M N)) = d (C; (A M N))$ .

Trong (BCC’B’) kẻ $C H ⊥ M N (H \in M N)$ ta có:

${\begin{cases} A M ⊥ C M \\ A M ⊥ C N \end{cases} \Rightarrow A M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A M ⊥ C H$

${\begin{cases} C H ⊥ A M \\ C H ⊥ M N \end{cases} \Rightarrow C H ⊥ (A M N) \Rightarrow d (C; (A M N)) = C H$

$\Rightarrow d (A M; B C^{'}) = C H$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có: $C H = \frac{C M . C N}{\sqrt{C M^{2} + C N^{2}}} = \frac{\frac{a}{2} . \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4}}} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Vậy $d (A M; B C^{'}) = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Đáp án D.

Câu 2

Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn $a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \log_{6} 45$ . Tổng $a + b + c$ bằng:

A. 1

B. 4

C. 2

D. 0

Lời giải

Ta có:

$a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \log_{6} 45 \Leftrightarrow a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \frac{\log_{2} 45}{\log_{2} 6}$

$\Leftrightarrow a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \frac{\log_{2} (3^{2} .5)}{\log_{2} (2.3)} \Leftrightarrow a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 3}$

$\Leftrightarrow a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \frac{2 + 2 \log_{2} 3 - 2 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 3} \Leftrightarrow a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = 2 + \frac{- 2 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 3}$

Đồng nhất hệ số ta có $a = 2, b = - 2, c = 1.$

Vậy $a + b + c = 2 + (- 2) + 1 = 1.$

Đáp án A.

Câu 3

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin (\cos x) = 0$ trên đoạn $[1; 2021]$ .

A. 672

B. 643

C. 642

D. 673

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (2 x - m) + \log_{2} (3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho biết $a = \log_{2} 5$ và $b = \log_{5} 7$ . Tính $\log_{\sqrt[3]{5}} \frac{49}{8}$ theo a và b.

A. $3 (2 b - \frac{3}{a})$

B. $3 (\frac{2}{a} - 3 b)$

C. $3 (\frac{2}{b} - 3 b)$

D. $3 (2 a - \frac{3}{b})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f^{'} (1) = 3$ . Khi đó $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ bằng:

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng $45^{0}$ , $A D ⊥ B C$ và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn $a + \frac{b + \log_{2} 5}{c + \log_{2} 3} = \log_{6} 45$ . Tổng $a + b + c$ bằng:

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin (\cos x) = 0$ trên đoạn $[1; 2021]$ .

Cho phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (2 x - m) + \log_{2} (3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Cho biết $a = \log_{2} 5$ và $b = \log_{5} 7$ . Tính $\log_{\sqrt[3]{5}} \frac{49}{8}$ theo a và b.

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f^{'} (1) = 3$ . Khi đó $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1}$ bằng: