Trong không gian $Oxyz$  với hệ trục tọa độ cho điểm $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)$ . Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng $\left(\alpha \right).:x+y+z=0$  và tiếp xúc với 3 đường thẳng $AB,BC,CA$?

Đáp án D

Gọi mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I$  là mặt cầu tiếp xúc 3 cạnh $AB,BC,CA$ .

$d\left(I,AB\right)=d\left(I,BC\right)=d\left(I,AC\right)$.

Gọi $H$  là hình chiếu của $I$  trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ .

 $M,P,C$ lần lượt là hình chiếu của $H$  trên $AB,BC,CA$ .

Ta có: $\Delta IHM=\Delta IHN=\Delta IHP$ (Cạnh huyền – cạnh góc vuông).

 $\Rightarrow HM=HN=HP\Rightarrow H$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left(ABC\right)$  và cách đều 3 cạnh $AB,BC,CA$ .

 $\Rightarrow H$ có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay là một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của $\Delta ABC$ .

Mà $IH\perp \left(ABC\right)$  nên tập hợp điểm  $I$ là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của  $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)\Rightarrow$  có 4 đường thẳng như thế.

Ta có $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(0;0;2\right)\Rightarrow$phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right):x+y+z-2=0\Rightarrow \left(ABC\right)//\left(\alpha \right)$

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm $I$  nêu trên và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  .

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Rightarrow$  có 4 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.