Tìm \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} - {m^2}{x^3} + \left( {15 - 3{m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {\frac{1}{2};2} \right]?\]

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 3\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x + 1} \right) = 3 - {x^2}\)

Đặt \(t = x + 1\)

Suy ra \(f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\)

Gọi \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2 \Rightarrow g'\left( t \right) = f'\left( t \right) - h\left( t \right)\)

Đồ thị \(y = h\left( t \right)\) có đỉnh \(I\left( {1;3} \right);t = 3 \Rightarrow h\left( 3 \right) = - 1;t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 2\)

Sau khi vẽ \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\) ta được hình vẽ bên

Hàm số nghịch biến khi \(g'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - h\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3\)

Suy ra \(0 \le x + 1 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right).\)

Đáp án B

Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD.\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = FH \cap SO \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}.\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(J = EG \cap SO \Rightarrow \frac{{SJ}}{{SO}} = \frac{1}{3}.\)

\(\frac{{{V_{SEJF}}}}{{{V_{SAON}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SJ}}{{SO}}.\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{{27}}.\)

\( \Rightarrow {V_{SEJF}} = \frac{2}{{27}}{V_{SAOB}} = \frac{2}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{SEIF}}}}{{{V_{SAOB}}}} = \frac{{SE}}{{SA}}.\frac{{SI}}{{SO}}.\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{{27}}.\)

\( \Rightarrow {V_{SEIF}} = \frac{4}{{27}}{V_{SAOB}} = \frac{4}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{27}}{V_{S.ABCD}}.\)

\({V_{F.EIJ}} = {V_{S.EIJ}} - {V_{SEJF}} = \frac{1}{{27}}{V_{S.ABCD}} - \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\({V_{F.IJG}} = {V_{H.IJG}} = {V_{H.IJE}} = \frac{1}{{54}}{V_{S.ABCD}}.\)

\({V_{EFGH}} = {V_{F.EJI}} + {V_{F.IJG}} + {V_{H.IJG}} + {V_{H.IJE}} = \frac{4}{{54}}{V_{S.ABCD}} = \frac{2}{{27}}{V_{S.ABCD}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{V_{EFGH}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{2}{{27}}.\)

Đáp án A