Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {2 - x} + \sqrt {1 + x} = \sqrt {m + x - {x^2}} \) có hai nghiệm phân biệt.
A.\(m \in \left( {5;\frac{{23}}{4}} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)
B.\(m \in \left[ {5;\frac{{23}}{4}} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)
C.\(m \in \left[ {5;6} \right].\)
D. \(m \in \left[ {5;\frac{{23}}{4}} \right].\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(\sqrt {2 - x} + \sqrt {1 + x} = \sqrt {m + x - {x^2}} \left( 1 \right)\)
Điều kiện: \( - 1 \le x \le 2.\)
Phương trình trở thành: \(2 - x + 1 + x + 2\sqrt {2 + x - {x^2}} = m + x - {x^2}.\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2 + x - {x^2}} = \left( {2 + x - {x^2}} \right) + m - 5\)
Đặt \(t = \sqrt {2 + x - {x^2}} .\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2 + x - {x^2}\) trên \(\left[ { - 1;2} \right].\)
\(f'\left( x \right) = - 2x + 1.\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{9}{4}.\)
Bảng biến thiên:
Phương trình trở thành:
\(m = - {t^2} + 2t + 5\left( 2 \right)\) với \(t \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right].\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {t^2} + 2t + 5.\)
\(g'\left( t \right) = - 2t + 2.\)
\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 6.\)
\(g\left( 0 \right) = 5;g\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{23}}{4}.\)
Bảng biến thiên:
Vậy để phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) có 1 nghiệm \(t \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right).\)
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(m \in \left[ {5;\frac{{23}}{4}} \right) \cup \left\{ 6 \right\}.\)
Đáp án B
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A.\(\left( { - 2;0} \right).\)
B.\(\left( { - 1;2} \right).\)
C.\(\left( {0;4} \right).\)
D. \(\left( {1;5} \right).\)
Lời giải
Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 3\)
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {x + 1} \right) = 3 - {x^2}\)
Đặt \(t = x + 1\)
Suy ra \(f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\)
Gọi \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2 \Rightarrow g'\left( t \right) = f'\left( t \right) - h\left( t \right)\)
Đồ thị \(y = h\left( t \right)\) có đỉnh \(I\left( {1;3} \right);t = 3 \Rightarrow h\left( 3 \right) = - 1;t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 2\)
Sau khi vẽ \(h\left( t \right) = - {t^2} + 2t + 2\) ta được hình vẽ bên
Hàm số nghịch biến khi \(g'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - h\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3\)
Suy ra \(0 \le x + 1 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right).\)
Đáp án B
Câu 2
A.\(\left( { - \frac{1}{2};1} \right).\)
B.\(\left( { - 2; - \frac{1}{2}} \right).\)
C.\(\left( {\frac{3}{2};3} \right).\)
D. \(\left( {0;\frac{3}{2}} \right).\)
Lời giải
\(y' \ge 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x \le - 3\\ - 2 \le 1 - 2x \le 1\\1 - 2x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\0 \le x \le \frac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right.\)
Vì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {0;\frac{3}{2}} \right),\left( {2; + \infty } \right).\)
Đáp án D
Câu 3
A. \(\frac{2}{{27}}\)
B.\(\frac{1}{{18}}.\)
C.\(\frac{1}{9}.\)
D. \(\frac{2}{9}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A.3.
B.1.
C.4.
D. 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\( - 1 \le m \le 1.\)
B.0
C.\(0 < m \le 2.\)
D. \( - 1 < m < 0.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.\(2 < m \le 3.\)
B.\(2 < m < 3.\)
C.\(2 \le m \le 3.\)
D. \(m >2\) hoặc \(m < - 1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A.\(0 < a < 1,0 < b < 1.\)
B.\(0 < a < 1,b >1.\)
C.\(a >1,0 < b < 1.\)
D. \(a >1,b >1.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập