Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa \[DE\] và song song với \[SC\], khi đó \[d\left( {DE;SC} \right) = d\left( {SC;\left( P \right)} \right)\].
- Đổi sang \[d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]. Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
![(VD): Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image8.png)
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[I = AC \cap DE\], trong \[\left( {SAC} \right)\] kẻ \[IG//SC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {G \in SA} \right)\], khi đó ta có \[DE \subset \left( {GDE} \right)//SC\].
\[ \Rightarrow d\left( {SC;DE} \right) = d\left( {SC;\left( {GDE} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{EC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\], do \[AC \cap \left( {GDE} \right) = I\] nên \[\frac{{d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)}} = \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \[AH \bot DE{\mkern 1mu} \left( {H \in DE} \right)\], trong \[\left( {GAH} \right)\] kẻ \[AK \bot GH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in GH} \right)\] ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DE \bot AH}\\{DE \bot AG}\end{array}} \right. \Rightarrow DE \bot \left( {AGH} \right) \Rightarrow DE \bot AK\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot GH}\\{AK \bot DE}\end{array}} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {GDE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right) = AK\]
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[AC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {ABCD} \right)\]
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta SAC\] vuông cân tại A.
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 \] nên .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \[\frac{{AG}}{{AS}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AG = \frac{{4a}}{3}\].
Ta có: \[{S_{\Delta AED}} = \frac{1}{2}d\left( {E;AD} \right).AD = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[CDE\] ta có \[DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\].
\[ \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{AED}}}}{{ED}} = \frac{{2{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[GAH\] ta có
AK=AG.AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
\[AK = \frac{{AG.AH}}{{\sqrt {A{G^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\frac{{4a}}{3}.\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)}^2}} }} = \frac{{4a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Vậy \[d\left( {DE;SC} \right) = \frac{1}{2} = \frac{{2a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Đáp án A
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right)\].
- Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\].
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right)\].
Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\].
+ TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \] \[ \Rightarrow a + b + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\].
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \[\left\{ {1;2;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;3;5} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {2;3;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {3;4;5} \right\}\].
⇒ có \[4.3! = 24\] cách chọn \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\].
⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \] \[ \Rightarrow a + b + c + 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\] \[ \Rightarrow a + b + c\] chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \[\left\{ {0;1;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;2;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {0;3;4} \right\}\].
⇒ có \[2.2.2! + 3! = 14\] cách chọn \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\].
⇒ Có 14 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả \[14 + 14 = 38\] số thỏa mãn.
Đáp án A
Lời giải
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là \[a\sqrt 2 \].
Giải chi tiết:
![(TH): Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image20.png)
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[AC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {ABCD} \right)\].
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\].
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \] nên \[AC = a\sqrt 3 .\sqrt 2 = a\sqrt 6 \].
Xét tam giác vuông \[SAC\] ta có: \[\tan \angle SCA = \frac{{SA}}{{SC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\] \[ \Rightarrow \angle SCA = {30^0}\].
Vậy \[\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = {30^0}\].
Đáp án C
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo