Câu hỏi:
29/04/2022 3,339Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của \[BC.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[DE\] và \[SC.\]
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa \[DE\] và song song với \[SC\], khi đó \[d\left( {DE;SC} \right) = d\left( {SC;\left( P \right)} \right)\].
- Đổi sang \[d\left( {A;\left( P \right)} \right)\]. Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
![(VD): Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 .\] Cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Góc giữa \[SC\] và mặt phẳng đáy bằng \[{45^0}.\] Gọi E là trung điểm của (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image8.png)
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[I = AC \cap DE\], trong \[\left( {SAC} \right)\] kẻ \[IG//SC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {G \in SA} \right)\], khi đó ta có \[DE \subset \left( {GDE} \right)//SC\].
\[ \Rightarrow d\left( {SC;DE} \right) = d\left( {SC;\left( {GDE} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{EC}}{{AD}} = \frac{1}{2}\], do \[AC \cap \left( {GDE} \right) = I\] nên \[\frac{{d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)}} = \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{1}{2}\] \[ \Rightarrow d\left( {C;\left( {GDE} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right)\].
Trong \[\left( {ABCD} \right)\] kẻ \[AH \bot DE{\mkern 1mu} \left( {H \in DE} \right)\], trong \[\left( {GAH} \right)\] kẻ \[AK \bot GH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in GH} \right)\] ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DE \bot AH}\\{DE \bot AG}\end{array}} \right. \Rightarrow DE \bot \left( {AGH} \right) \Rightarrow DE \bot AK\]
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AK \bot GH}\\{AK \bot DE}\end{array}} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {GDE} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {GDE} \right)} \right) = AK\]
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[AC\] là hình chiếu vuông góc của \[SC\] lên \[\left( {ABCD} \right)\]
\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta SAC\] vuông cân tại A.
Vì \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\sqrt 2 \] nên .
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \[\frac{{AG}}{{AS}} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow AG = \frac{{4a}}{3}\].
Ta có: \[{S_{\Delta AED}} = \frac{1}{2}d\left( {E;AD} \right).AD = \frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = {a^2}\].
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \[CDE\] ta có \[DE = \sqrt {C{D^2} + C{E^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\].
\[ \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{AED}}}}{{ED}} = \frac{{2{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[GAH\] ta có
AK=AG.AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
\[AK = \frac{{AG.AH}}{{\sqrt {A{G^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\frac{{4a}}{3}.\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)}^2}} }} = \frac{{4a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Vậy \[d\left( {DE;SC} \right) = \frac{1}{2} = \frac{{2a\sqrt {19} }}{{19}}\].
Đáp án A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Xem đáp án »
29/04/2022
17,195
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Xem đáp án »
29/04/2022
17,079
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án »
29/04/2022
15,426
Câu 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:
Xem đáp án »
29/04/2022
10,076
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Xem đáp án »
29/04/2022
10,067
Câu 6:
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:
Xem đáp án »
29/04/2022
9,708
Câu 7:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Xem đáp án »
29/04/2022
9,119
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề 1)
về câu hỏi!