Cho \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[{a^2} + {b^2}\] là:

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.

- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.

- Biến đổi \[P = {a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\], đặt ẩn phụ \[t = 2ab\], lập BBT tìm miền giá trị của t.

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {2^{a + b + 2ab - 3}} = \frac{{1 - ab}}{{a + b}}\]

$\iff a+b+2ab-3={\log }_2(1-ab)-{\log }_2(a+b)$

$\iff a+b+2ab-2={\log }_2(1-ab)+1-{\log }_2(a+b)$

\[ \Leftrightarrow a + b + 2ab - 2 = {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b = {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) + 2 - 2ab{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\]

Xét hàm số \[y = {\log _2}t + t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t >0} \right)\] ta có \[y' = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 >0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t >0\], do đó hàm số đồng biến trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].

Khi đó  \[\left( * \right) \Leftrightarrow a + b = 2 - 2ab \Leftrightarrow a\left( {1 + 2b} \right) = 2 - b \Leftrightarrow a = \frac{{2 - b}}{{1 + 2b}}\].

Vì \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b >0 \Rightarrow \frac{{2 - b}}{{1 + 2b}} >0 \Leftrightarrow 2 - b >0 \Leftrightarrow b < 2\].

Khi đó ta có \[P = {a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = {\left( {2 - 2ab} \right)^2} - 2ab\].

Đặt \[t = 2ab = 2\frac{{2 - b}}{{1 + 2b}}.b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < b < 2} \right)\] ta có \[t = 2.\frac{{2b - {b^2}}}{{1 + 2b}}\]

\[ \Rightarrow t' = 2.\frac{{\left( {2 - 2b} \right)\left( {1 + 2b} \right) - \left( {2b - {b^2}} \right).2}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2.\frac{{2 + 4b - 2b - 4{b^2} - 4b + 2{b^2}}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]\[ = \frac{{4 - 4b - 4{b^2}}}{{{{\left( {1 + 2b} \right)}^2}}}\]

\[t' = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\]

BBT:

\[ \Rightarrow t \in \left( {0;3 - \sqrt 5 } \right]\].

Khi đó ta có \[P = {\left( {2 - t} \right)^2} - t = {t^2} - 5t + 4,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left( {0;3 - \sqrt 5 } \right]\].

Ta có \[P' = 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)\], do đó \[{P_{\min }} = P\left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 3 - \sqrt 5 \].

Đáp án C