Câu hỏi:
29/04/2022 3,631Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \[A\left( {1;0;2} \right)\], \[B\left( { - 1;1;3} \right)\], \[C\left( {3;2;0} \right)\] và mặt phẳng . Biết rằng điểm \[M\left( {a;b;c} \right)\] thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức \[M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \[a + b + c\] bằng:
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Hot: Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia Toán, Văn, Anh, Sử, Địa...., ĐGNL các trường ĐH Quốc Gia Hà Nội, Tp. Hồ Chi Minh file word có đáp án (form 2025).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\]. Phân tích \[M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\] theo MI.
- Chứng minh đó \[M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \[MI\] đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của để \[I{M_{\min }}\].
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và \[\left( P \right)\] để tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\]. Khi đó ta có:
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\]
\[ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right) + {\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {IB} ^2} - {\overrightarrow {IC} ^2}\]
\[ = 2M{I^2} + \left( {I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}} \right)\]
Vì \[I,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\] cố định nên \[I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\] không đổi, do đó \[M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \[MI\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà \[M \in \left( P \right)\] nên \[IM\] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên \[\left( P \right)\] hay \[IM \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} \] và \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\] cùng phương, với \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 vtpt của \[\left( P \right)\].
Tìm tọa độ điểm I ta gọi \[I\left( {x;y;z} \right)\]. Ta có:
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \vec 0\]
\[ \Rightarrow \left( {x - 1;y;z - 2} \right) + 2\left( {x + 1;y - 1;z - 3} \right) - \left( {x - 3;y - 2;z} \right) = \vec 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 + 2\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0}\\{y + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0}\\{z - 2 + 2\left( {z - 3} \right) - z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 4 = 0}\\{2y = 0}\\{2z - 8 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 0}\\{z = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( { - 2;0;4} \right)\]
Khi đó ta có \[\overrightarrow {IM} = \left( {a + 2;b;c - 4} \right)\]
Vì \[\overrightarrow {IM} \] và \[\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\] cùng phương, lại có \[M \in \left( P \right)\] nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + 2}}{1} = \frac{b}{2} = \frac{{c - 4}}{{ - 2}}}\\{a + 2b - 2c + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - b + 4 = 0}\\{b + c - 4 = 0}\\{a + 2b - 2c + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array}} \right.\]
Vậy \[a + b + c = - 1 + 2 + 2 = 3\]
Đáp án C
Nhà sách VIETJACK:
Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack
Đã bán 189
₫ 135.000
₫ 38.500
Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7
Đã bán 1,3k
₫ 36.000
₫ 18.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Xem đáp án »
29/04/2022
25,844
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Xem đáp án »
29/04/2022
17,979
Câu 3:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Xem đáp án »
29/04/2022
17,632
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án »
29/04/2022
16,443
Câu 5:
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:
Xem đáp án »
29/04/2022
12,792
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Xem đáp án »
29/04/2022
11,357
Câu 7:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:
Xem đáp án »
29/04/2022
10,723
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
-
50 bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có lời giải
-
50 bài tập Hình học không gian có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận