Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 2\]. Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\]?

Phương pháp giải:

- Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \[M\].

- Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là \[y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\].

- Cho $A(1;0)\in d$, giải phương trình tìm số nghiệm \[{x_0}\]. Số nghiệm \[{x_0}\] chính là số tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\] cần tìm.

Giải chi tiết:

Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x\].

Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là \[y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( d \right)\].

Cho \[A\left( {1;0} \right) \in d\] ta có:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2\]

\[ \Leftrightarrow 0 = 3x_0^2 - 6{x_0} - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 2\]$\iff 0=-2x_0^3-6x_0+2$\[ \Leftrightarrow {x_0} \approx 0,32\]

Vậy có duy nhất 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \[A\left( {1;0} \right)\].

Đáp án C.