Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số \[y = m{x^9} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^6} + \left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right){x^4} + m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Ta có:

\[y' = 9m{x^8} + 6\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^5} + 4\left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right){x^3}\]

\[y' = {x^3}\left[ {9m{x^5} + 6\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^2} + 4\left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right)} \right]\]

Cho \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {nghiem{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} boi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)}\\{9m{x^5} + 6\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^2} + 4\left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right) = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.\]

Để hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] thì \[x = 0\] phải là nghiệm bội chẵn của phương trình \[y' = 0\], do đó phương trình (*) phải nhận \[x = 0\] là nghiệm bội lẻ.

Vì \[x = 0\] là nghiệm của (*) nên thay x=0x=0 vào phương trình (*) ta có:

\[2{m^3} - {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m = - \frac{1}{2}}\\{m = 0}\end{array}} \right.\]

Thử lại:

+ Với \[m = 0\] ta có \[y' = 12{x^5}\] không thỏa mãn \[y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\].

+ Với \[m = 1\] ta có \[y' = 9{x^8} \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\] (thỏa mãn).

+ Với \[m = - \frac{1}{2}\] ta có \[y' = - \frac{9}{2}{x^8} + \frac{{45}}{2}{x^5} = - \frac{9}{2}{x^5}\left( {{x^3} - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = \sqrt[3]{5}}\end{array}} \right.\], do đó không thỏa mãn \[y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[m = 1\].

Đáp án B