Câu hỏi:
29/04/2022 964Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\], các mặt bên tạo với đáy góc \[{60^0}\], hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp \[S.ABC\].
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \[ABC\], chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[r = \frac{S}{p}\], với \[S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} p\] lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\].
Giải chi tiết:
![(VD): Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[AB = 3a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC = 4a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA = 5a\], các mặt bên tạo với đáy góc \[{60^0}\], hình chiếu vuông góc của S lên mặt p (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image25.png)
Vì chóp \[S.ABC\] có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác \[ABC\] nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] \[ \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\]
Xét \[\Delta ABC\] có \[A{B^2} + B{C^2} = C{A^2} = 25{a^2}\] nên \[\Delta ABC\] vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Trong \[\left( {ABC} \right)\] kẻ \[HK//BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in AB} \right)\] ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SH}\\{AB \bot HK}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AB \bot SK\].
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{SK \subset \left( {SAB} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SK \bot AB}\\{HK \subset \left( {ABC} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} HK \bot AB}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\].
Vì HK là bán kính đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] nên \[HK = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.3a.4a}}{{\frac{{3a + 4a + 5a}}{2}}} = a\].
Xét tam giác vuông \[SHK\] ta có \[SH = HK.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \].
Vậy \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.3a.4a = 2\sqrt 3 {a^3}\].
Đáp án A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Xem đáp án »
29/04/2022
17,195
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Xem đáp án »
29/04/2022
17,079
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án »
29/04/2022
15,425
Câu 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:
Xem đáp án »
29/04/2022
10,075
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Xem đáp án »
29/04/2022
10,066
Câu 6:
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:
Xem đáp án »
29/04/2022
9,698
Câu 7:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Xem đáp án »
29/04/2022
9,119
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề 1)
về câu hỏi!