Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[a\sqrt 6 \]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \[SB\].

Vì \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\] nên \[IS = IA = IB = IC\], do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\], bán kính \[R = IS = \frac{1}{2}SB\].

Xét \[{\Delta _v}SAB\] và \[{\Delta _v}SCB\] có \[AB = CB{\mkern 1mu} \left( {gt} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SB\] chung \[ \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SCB\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\[ \Rightarrow SA = S \Rightarrow \Delta SAC\] cân tại S.

Gọi M là trung điểm của AC ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SM \bot AC}\\{BM \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBM} \right)\].

Trong \[\left( {SBM} \right)\] kẻ \[SH \bot BM\] ta có: $\{\begin{array}{l}SH\perp BM\\ SH\perp AC(AC\perp \left(SBM\right))\end{array}\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$.

Đặt \[SA = SC = x\].

Vì \[\Delta ABC\] vuông cân tại B nên \[AC = AB\sqrt 2 = 3a\sqrt 2 \Rightarrow BM = AM = MC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\[SM = \sqrt {S{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} \]

\[SB = \sqrt {B{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + {x^2}} \].

Gọi p là nửa chu vi tam giác \[SBM\] ta có \[p = \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} + \sqrt {9{a^2} + {x^2}} + \frac{{9{a^2}}}{2}}}{2}\].

Diện tích tam giác \[SBM\] là: $S_{SBM}=\sqrt{p(p-SM)(p-SB)(p-BM)}$

Khi đó ta có \[SH = \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}\].

Ta có:

\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]

\[ \Rightarrow SH.{S_{\Delta ABC}} = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}.\frac{1}{2}.3a.3a = a\sqrt 6 .\frac{1}{2}.3a.x \Leftrightarrow x = 3\sqrt 3 a\]

Áp dụng định lí Pytago ta có: \[SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {27{a^2} + 9{a^2}} = 6a \Rightarrow R = IS = 3a\].

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\] là \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9{a^2} = 36\pi {a^2}\].

Đáp án A