Câu hỏi:
29/04/2022 5,658Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[a\sqrt 6 \]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
![(VDC): Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649578518/1649578694-image30.png)
Gọi I là trung điểm của \[SB\].
Vì \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\] nên \[IS = IA = IB = IC\], do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\], bán kính \[R = IS = \frac{1}{2}SB\].
Xét \[{\Delta _v}SAB\] và \[{\Delta _v}SCB\] có \[AB = CB{\mkern 1mu} \left( {gt} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SB\] chung \[ \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SCB\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\[ \Rightarrow SA = S \Rightarrow \Delta SAC\] cân tại S.
Gọi M là trung điểm của AC ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SM \bot AC}\\{BM \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBM} \right)\].
Trong \[\left( {SBM} \right)\] kẻ \[SH \bot BM\] ta có: .
Đặt \[SA = SC = x\].
Vì \[\Delta ABC\] vuông cân tại B nên \[AC = AB\sqrt 2 = 3a\sqrt 2 \Rightarrow BM = AM = MC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\[SM = \sqrt {S{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} \]
\[SB = \sqrt {B{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + {x^2}} \].
Gọi p là nửa chu vi tam giác \[SBM\] ta có \[p = \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} + \sqrt {9{a^2} + {x^2}} + \frac{{9{a^2}}}{2}}}{2}\].
Diện tích tam giác \[SBM\] là:
Khi đó ta có \[SH = \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}\].
Ta có:
\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]
\[ \Rightarrow SH.{S_{\Delta ABC}} = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}.\frac{1}{2}.3a.3a = a\sqrt 6 .\frac{1}{2}.3a.x \Leftrightarrow x = 3\sqrt 3 a\]
Áp dụng định lí Pytago ta có: \[SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {27{a^2} + 9{a^2}} = 6a \Rightarrow R = IS = 3a\].
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\] là \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9{a^2} = 36\pi {a^2}\].
Đáp án A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
Xem đáp án »
29/04/2022
17,195
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]
Xem đáp án »
29/04/2022
17,079
Câu 3:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Xem đáp án »
29/04/2022
15,426
Câu 4:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:
Xem đáp án »
29/04/2022
10,076
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]
Xem đáp án »
29/04/2022
10,067
Câu 6:
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:
Xem đáp án »
29/04/2022
9,708
Câu 7:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].
Xem đáp án »
29/04/2022
9,119
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Bộ đề thi thử Đại học môn Toán mới nhất cực hay có lời giải (Đề 1)
về câu hỏi!