Câu hỏi:

29/04/2022 8,738

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[a\sqrt 6 \]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].

A.\[36\pi {a^2}\]

B.\[6\pi {a^2}\]

C.\[18\pi {a^2}\]

D.\[48\pi {a^2}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có đáp án (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

$(VDC): Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\ (ảnh 1)$

Gọi I là trung điểm của \[SB\].

Vì \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\] nên \[IS = IA = IB = IC\], do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\], bán kính \[R = IS = \frac{1}{2}SB\].

Xét \[{\Delta _v}SAB\] và \[{\Delta _v}SCB\] có \[AB = CB{\mkern 1mu} \left( {gt} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SB\] chung \[ \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SCB\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\[ \Rightarrow SA = S \Rightarrow \Delta SAC\] cân tại S.

Gọi M là trung điểm của AC ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SM \bot AC}\\{BM \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBM} \right)\].

Trong \[\left( {SBM} \right)\] kẻ \[SH \bot BM\] ta có: ${\begin{cases} S H ⊥ B M \\ S H ⊥ A C (A C ⊥ (S B M)) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C)$ .

Đặt \[SA = SC = x\].

Vì \[\Delta ABC\] vuông cân tại B nên \[AC = AB\sqrt 2 = 3a\sqrt 2 \Rightarrow BM = AM = MC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\]

Áp dụng định lí Pytago ta có:

\[SM = \sqrt {S{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} \]

\[SB = \sqrt {B{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {9{a^2} + {x^2}} \].

Gọi p là nửa chu vi tam giác \[SBM\] ta có \[p = \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{{9{a^2}}}{2}} + \sqrt {9{a^2} + {x^2}} + \frac{{9{a^2}}}{2}}}{2}\].

Diện tích tam giác \[SBM\] là: $S_{S B M} = \sqrt{p (p - S M) (p - S B) (p - B M)}$

Khi đó ta có \[SH = \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}\].

Ta có:

\[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]

\[ \Rightarrow SH.{S_{\Delta ABC}} = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2{S_{\Delta SBM}}}}{{BM}}.\frac{1}{2}.3a.3a = a\sqrt 6 .\frac{1}{2}.3a.x \Leftrightarrow x = 3\sqrt 3 a\]

Áp dụng định lí Pytago ta có: \[SB = \sqrt {S{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {27{a^2} + 9{a^2}} = 6a \Rightarrow R = IS = 3a\].

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp \[S.ABC\] là \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9{a^2} = 36\pi {a^2}\].

Đáp án A

Bình luận

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

A. 38

B. 48

C. 44

D. 24

Xem đáp án » 29/04/2022 30,404

Câu 2:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].

A.\[{90^0}\]

B.\[{45^0}\]

C.\[{30^0}\]

D.\[{60^0}\]

Xem đáp án » 29/04/2022 22,498

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]

A. 4

B. 2

C. 5

D. 0

Xem đáp án » 29/04/2022 18,399

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

A.\[1 < m < \frac{3}{2}\]

B.\[4 < m < 5\]

C.\[3 < m < 4\]

D.\[2 < m < \frac{5}{2}\]

Xem đáp án » 29/04/2022 16,639

Câu 5:

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:

A.\[\left( {0;0} \right)\]

B.\[\left( {0;2} \right)\]

C.\[\left( {1;0} \right)\]

D.\[\left( { - 1;4} \right)\]

Xem đáp án » 29/04/2022 14,023

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho đường thẳng \[\Delta :{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z = 0,\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - 2y + 3z + 4 = 0.\] Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng \[\Delta \] và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right).\]

A.\[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{7}\]

B.\[{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{7}\]

C.\[{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{2}{7}\]

D.\[{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{2}{7}\]

Xem đáp án » 29/04/2022 11,925

Câu 7:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:

A. 6

B. 4

C. 24

D. 12

Xem đáp án » 29/04/2022 10,996

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại B, \[AB = BC = 3a\], góc \[\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\]và khoảng cách từ A đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[a\sqrt 6 \]. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 2 \]. Tính góc giữa SC và \[\left( {ABCD} \right)\].

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)?\]

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \[\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 2m - 1\] có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3x + 2\] là:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bằng:

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu