Câu hỏi:

12/04/2022 298

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z + 2| = |z + 2 i| .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2 i| + |z - 3 - 4 i| + |z - 5 - 6 i|$ được viết dưới dạng $(a + b \sqrt{17}) / \sqrt{2}$ với $a, b$ là các hữu tỉ. Giá trị của $a + b$ là

A. 3

B. 2

C. 7

D. 4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu 49: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Giá trị nhỏ nhất của biểu thức được viết dưới dạng với là các hữu tỉ. Giá trị của là (ảnh 1)

Cách 1.

* Đặt $E (- 2; 0), F (0; - 2), A (1; 2), B (3; 4), C (5; 6), M (x; y)$ biểu diễn cho số phức

* Từ giả thiết., ta có $M$ thuộc đường trung trực $Δ : y = x$ của đoạn $E F$ và $P = A M + B M + C M .$

* Ta chứng minh điểm $M$ chính là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $Δ .$

- Với $M'$ tùy ý thuộc $Δ, M'$ khác $M .$ Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $Δ .$ Nhận thấy rằng ba điểm $A', M, C$ thẳng hàng.

- Ta có $A M' + B M' + C M' = A' M' + B M' + C M' .$ Mà $A' M' + C M' > A' C = A' M + C M = A M + C M .$ Lại có $B M' > B M .$ Do đó $A M' + B M' + C M' > A M + B M + C M .$

Cách 2.

* Gọi $z = x + y i, (x, y \in ℝ) .$ Từ giả thiết $|z + 2| = |z + 2 i|,$ dẫn đến $y = x .$ Khi đó $z = x + x i .$

* $P = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(x - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(x - 6)}^{2}} .$

* Sử dụng bất đẳng thức

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{{(a + c)}^{2} + {(b + d)}^{2}} .$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} .$ Ta có

$\sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(x - 6)}^{2}} = \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2}} + \sqrt{{(5 - x)}^{2} + {(6 - x)}^{2}}$

$\geq \sqrt{{(x - 1 + 6 - x)}^{2} + {(x - 2 + 5 - x)}^{2}}$

$\geq \sqrt{34}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x - 1}{6 - x} = \frac{x - 2}{5 - x} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2} .$

* Mặt khác

$\sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(x - 4)}^{2}} = \sqrt{2 x^{2} - 14 x + 25} = \sqrt{2} \sqrt{{(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{7}{2} .$

* Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của $(P)$ là $\frac{1 + 2 \sqrt{17}}{\sqrt{2}}$ . Khi đó $a + b = 3.$

Chọn đáp án A.

Bình luận

Câu 1:

Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 10, F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ và $F (a) = - 3.$ Tính $F (b) .$

A. $F (b) = 13.$

B. $F (b) = 10.$

C. $F (b) = 16.$

D. $F (b) = 7.$

Xem đáp án » 12/04/2022 5,973

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho hai điểm $M (- 1; 2; 3), N (0; 2; - 1) .$ Tọa độ trọng tâm của tam giác $O M N$ là

A. $(- \frac{1}{3}; \frac{4}{3}; \frac{2}{3})$

B. $(- \frac{1}{2}; 2; 1) .$

C. $(1; 0; - 4) .$

D. $(- 1; 4; 2) .$

Xem đáp án » 21/04/2022 3,706

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 3) .$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $(A B C)$ ?

A. $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 2} = 1.$

B. $\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 0.$

C. $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{3} = 1.$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1.$

Xem đáp án » 21/04/2022 2,850

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 2) .$

B. $(0; 2)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án » 12/04/2022 2,608

Câu 5:

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài cho đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng.

A. $9 \sqrt{26 π} c m^{2}$

B. $\frac{9 \sqrt{26} π}{2} c m^{2} .$

C. $\frac{9 \sqrt{26} π}{5} c m^{2} .$

D. $\frac{9 \sqrt{26} π}{10} c m^{2} .$

Xem đáp án » 12/04/2022 2,381

Câu 6:

Từ các chữ số $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?

A. $A_{9}^{2} .$

B. $C_{9}^{2}$

C. $2^{9}$

D. $9^{2} .$

Xem đáp án » 12/04/2022 1,555

Câu 7:

Trong không gian $O x y z,$ cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 1; 1) .$ Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ thep giao tuyến là một đường tròn $(C) .$ Biết chu vi lớn nhất của $(C)$ bằng $2 π \sqrt{2} .$ Phương trình của $(S)$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 2$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

Xem đáp án » 12/04/2022 985

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z + 2| = |z + 2 i| .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2 i| + |z - 3 - 4 i| + |z - 5 - 6 i|$ được viết dưới dạng $(a + b \sqrt{17}) / \sqrt{2}$ với $a, b$ là các hữu tỉ. Giá trị của $a + b$ là

500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025)

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 10, F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ và $F (a) = - 3.$ Tính $F (b) .$

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho hai điểm $M (- 1; 2; 3), N (0; 2; - 1) .$ Tọa độ trọng tâm của tam giác $O M N$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 3) .$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $(A B C)$ ?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài cho đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng.

Từ các chữ số $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?

Trong không gian $O x y z,$ cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 1; 1) .$ Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ thep giao tuyến là một đường tròn $(C) .$ Biết chu vi lớn nhất của $(C)$ bằng $2 π \sqrt{2} .$ Phương trình của $(S)$ là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+2=z+2i. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z−1−2i+z−3−4i+z−5−6i được viết dưới dạng a+b17/2 với a,b là các hữu tỉ. Giá trị của a+b là

Bình luận

Biết ∫abfxdx=10,Fxlà một nguyên hàm của fxvà Fa=−3.Tính Fb.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M−1;2;3,N0;2;−1. Tọa độ trọng tâm của tam giác OMN là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba điểm A1;0;0,B0;−2;0,C0;0;3. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng ABC?

Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y=fx nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài cho đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng.

Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có tâm I1;1;1. Một mặt phẳng P cắt S thep giao tuyến là một đường tròn C. Biết chu vi lớn nhất của C bằng 2π2. Phương trình của S là

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z + 2| = |z + 2 i| .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 1 - 2 i| + |z - 3 - 4 i| + |z - 5 - 6 i|$ được viết dưới dạng $(a + b \sqrt{17}) / \sqrt{2}$ với $a, b$ là các hữu tỉ. Giá trị của $a + b$ là

Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 10, F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ và $F (a) = - 3.$ Tính $F (b) .$

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho hai điểm $M (- 1; 2; 3), N (0; 2; - 1) .$ Tọa độ trọng tâm của tam giác $O M N$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 3) .$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $(A B C)$ ?

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ các chữ số $1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?

Trong không gian $O x y z,$ cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 1; 1) .$ Một mặt phẳng $(P)$ cắt $(S)$ thep giao tuyến là một đường tròn $(C) .$ Biết chu vi lớn nhất của $(C)$ bằng $2 π \sqrt{2} .$ Phương trình của $(S)$ là