Cho hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-2m{x}^2-m+2.$  Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $\left[1;3\right]$ bằng 6?

Đáp án A

Cách 1. Xét $y^{\text{'}}=0\iff 2x^2-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right..$

Trường hợp 1: $2m\le 1\iff m\le \frac{1}{2}.$  Khi đó $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}y=y\left(3\right)=20-19m=6\iff m=\frac{14}{19}$  (loại)

• Trường hợp 2: $1<2m<3\iff \frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}.$  Khi đó $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}y=y\left(1\right)$  hoặc $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}y=y\left(3\right)$

+) $y\left(1\right)=6\iff m=-\frac{10}{9}$  (loại)

+) $y\left(3\right)=6\iff m=\frac{14}{19},$  khi đó $y\left(1\right)=\frac{26}{57}$ (thỏa mãn).

• Trường hợp 3: $2m\ge 3\iff m\ge \frac{3}{2}.$  Khi đó $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}y=y\left(1\right)=-3m+\frac{8}{3}=6\iff m=-\frac{10}{9}$  (loại).

Cách 2. Giá trị lớn nhất của hàm số chỉ đạt tại $f\left(1\right),f\left(3\right),f\left(2m\right)$ (vì $0\notin \left(1;3\right)$ ).

Biện luận sẽ thấy $f\left(2m\right)$  không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f\left(1\right)$ và $f\left(3\right).$

Giả sử $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=6$ tìm ra m thay vào $f\left(1\right),f\left(3\right),f\left(2m\right)$ (vì  $0\notin \left(1;3\right)$

Biện luận sẽ thấy $f\left(2m\right)$ không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f\left(1\right)$ và  $f\left(3\right).$

Giả sử $\underset{x\in \left[1;3\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=6$  tìm ra m thay vào $f\left(3\right)$ xem có lớn hơn không, tương tự làm với $f\left(3\right).$