Câu hỏi:
13/04/2022 3,824Có bao nhiêu cặp số nguyên dương\(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn:\(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2y{.2^x} = {\log _2}\left( {y + 2x} \right) - {\log _2}y + 2y + 3x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}y + \left( {x + 1} \right) = 1 + {\log _2}\left( {y + 2x} \right) + 2y + 4x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y{{.2}^{x + 1}}} \right) = {\log _2}\left( {2y + 4x} \right) + \left( {2y + 4x} \right)\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)
Ta thấy \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} = 2y + 4x \Leftrightarrow y{.2^x} = y + 2x \Rightarrow {2^x} = 1 + \frac{{2x}}{y}\) (2)
Do ynguyên dương nên \(1 + \frac{{2x}}{y} \le 1 + 2x\) (3)
Từ (2) và (3) ta có: \({2^x} \le 1 + 2x\) (4)
Xét \(f\left( x \right) = {2^x} - 2x - 1,\,\,x >0\)
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 >0\,\,,\forall x \ge 3\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 3 \right) = {2^3} - 2.3 - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Suy ra \({2^x} - 2x - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Từ (4) và do x nguyên dương nên từ\({2^x} \le 1 + 2x \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Thay \(x = 1\) vào (2) ta có \(y = 2\).
Thay \(x = 2\) vào (2) ta có \(y = \frac{4}{3}\)
Vậy có một cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa đề là: \(\left( {1;2} \right)\).
Nhận xét:
Kiên thức sử dụng:
1. Hàm sử dụng hàm đặc trưng để suy ra biểu thức quan hệ giữa x, y đơn giản hơn.
2. Sử dụng đánh giá bất đẳng thức cơ bản để thu hẹp miền x, y rồi thay vào tìm trực tiếp.
Chọn đáp án A
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ {1;2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng \(3\) điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là?
Xem đáp án »
13/04/2022
7,947
Câu 2:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 2}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Mệnh đề nào sau đây đúng
Xem đáp án »
13/04/2022
6,163
Câu 3:
Xét các số thực dương \(a,\,b\) thỏa mãn \[{\log _9}a = \log {}_{12}b = \log {}_{15}\left( {a + b} \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
13/04/2022
4,733
Câu 4:
Diện tích toàn phần của một hình nón có độ dài đường sinh \[l\] gấp đôi bán kính đáy \[r\] là
Xem đáp án »
13/04/2022
3,723
Câu 5:
Cho biết sự rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là \(1,32\% \), nếu tỉ lệ tăng dân số không thay đổi thì đến tăng trưởng dân số được tính theo công thức tăng trưởng liên tục \(S = A.{{\rm{e}}^{Nr}}\)trong đó \(A\) là dân số tại thời điểm mốc, \(S\) là số dân sau \(N\) năm, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm \(2013\) dân số thể giới vào khoảng \(7095\) triệu người. Biết năm \(2020\) dân số thế giới gần nhất với giá trị nào sau đây?
Xem đáp án »
13/04/2022
3,641
Câu 6:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \[AB = 2a,\,\,AD = a,\,\,SA = 3a\] và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\)sao cho \(SE = a\), cosin của góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng
Xem đáp án »
13/04/2022
3,432
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 3)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 5)
-
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (đề 1)
về câu hỏi!