Câu hỏi:
13/04/2022 477Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\]. Góc giữa \(CA'\) và mặt \((AA'B'B)\) bằng \(30^\circ \). Gọi \[I\] là trung điểm \[AB\]. Tính khoảng cách giữa \[A'I\] và \[AC\]
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn đáp án D
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}CI \bot AB\\CI \bot AA'\,\,\,\,\left( {AA' \bot (ABC)} \right)\\{\rm{ }}AB \cap AA' = \{ A\} \\AB,\,AA' \subset \left( {AA'B'A} \right)\quad \end{array} \right.\]\( \Rightarrow CI \bot \left( {AA'B'B} \right)\).
Dễ thấy \[\left( {\widehat {CA';\left( {AA'B'B} \right)}} \right) = \left( {\widehat {CA';IA'}} \right) = \widehat {CA'I} = 30^\circ \].
Do đó \(A'I = \frac{{IC}}{{\tan \widehat {CA'}I}} = \frac{{3a}}{2};\) với \(IC = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra\(AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 \).
Kẻ \(Ix\parallel AC\). Khi đó \(d(AC,A'I) = d(AC,(A'I,Ix)) = d(A,(A'I,Ix))\)
Kẻ \(AE \bot Ix\) tại \[E\] và \(AF \bot A'E\) tại \[F\].
\[\left\{ \begin{array}{l}EI \bot AE\\EI \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {AEI} \right)} \right)\\AE,\,AA' \subset \left( {A'AE} \right)\\AE \cap AA' = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow EI \bot \left( {A'AE} \right) \Rightarrow EI \bot AF\]
Vì\[\left\{ \begin{array}{l}AF \bot A'E\\AF \bot EI\\A'E,EI \subset \left( {A'EI} \right)\\A'E \cap EI = \left\{ E \right\}\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {A'EI} \right)\].
Do đó \(d\left( {A,(A'I,Ix)} \right) = AF\).
Ta có: \(AE = AI.\sin \widehat {AIE} = \frac{a}{2}.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{35}}{{6{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt {210} }}{{35}}\)
Vậy: \(d\left( {AC,A'I} \right) = AF = \frac{{a\sqrt {210} }}{{35}}\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - 1} \right)\) là
Xem đáp án »
13/04/2022
25,401
Câu 2:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) .Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DBC} \right)\) bằng
Xem đáp án »
13/04/2022
10,628
Câu 3:
Phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng
Xem đáp án »
13/04/2022
9,362
Câu 4:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình sau.
Hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem đáp án »
13/04/2022
7,213
Câu 6:
Cho \[F\left( x \right)\], \[G\left( x \right)\] lần lượt là các nguyên hàm của các hàm số \[f\left( x \right)\], \[g\left( x \right)\] trên khoảng \[K\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án »
13/04/2022
5,042
Câu 7:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log ^2}_2\left( {2x} \right) - 5{\log _2}x - 5 \ge 0\) là
Xem đáp án »
13/04/2022
4,809
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận