Câu hỏi:
13/04/2022 317Cho hai số thực dương \(a >1,\,\,b >1\) và biết phương trình \({a^{{x^2}}}{b^{x + 4}} = 1\) có nghiệm thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}}\) nằm trong khoảng nào?
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Chọn đáp án A
Ta có: \(a >1,\,\,b >1\) nên \({\log _a}b >0\).
Xét: \({a^{{x^2}}}{b^{x + 4}} = 1 \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{a^{{x^2}}}{b^{x + 4}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x{\log _a}b + 4{\log _a}b = 0\).
Ta có \({a^{{x^2}}}{b^{x + 4}} = 1\) có nghiệm thực \( \Leftrightarrow \log _a^2b - 16{\log _a}b \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b \le 0\,\,\,\,\,\left( l \right)\\{\log _a}b \ge 16\,\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\).
Ta có: \(P = {\log _a}\left( {\frac{b}{{{a^3}}}} \right) + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}} = - 3 + {\log _a}b + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}} = - 3 + \frac{{15}}{{16}}{\log _a}b + \left( {\frac{{{{\log }_a}b}}{{16}} + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}}} \right)\).
Áp dụng Cauchy cho hai số dương \(\frac{{{{\log }_a}b}}{{16}}\) và \(\frac{{16}}{{{{\log }_a}b}}\).
Ta có: \(\frac{{{{\log }_a}b}}{{16}} + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}} \ge 2\)
Vậy \(P \ge - 3 + \frac{{15}}{{16}}.16 + 2 \Leftrightarrow P \ge 14\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - 1} \right)\) là
Câu 2:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) .Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {DBC} \right)\) bằng
Câu 3:
Phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng
Câu 4:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình sau.
Hàm số \[y = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 6:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 3}}\] là
Câu 7:
Cho hình trụ có chiều cao \[8a\]. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \[2a\] thì thiết diện thu được là một hình chữ nhật có diện tích bằng \[48{a^2}\]. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
về câu hỏi!