Cho hai số thực

\(x\), \(y\) thỏa mãn \(x + 3y + 1 = {y^2} - \frac{1}{y} + \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x + 1} }}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x - 2y + 2020\).

Chọn đáp án B

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x >- 1\\y \ne 0\end{array} \right.\) thì \(x + 3y + 1 = {y^2} - \frac{1}{y} + \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x + 1} }} \Leftrightarrow x + 1 - \frac{{3x + 4}}{{\sqrt {x + 1} }} = {y^2} - 3y - \frac{1}{y}\)\( \Leftrightarrow x + 1 - 3\sqrt {x + 1} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} = {y^2} - 3y - \frac{1}{y}\)\(\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 3t - \frac{1}{t}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 2t - 3 + \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{2{t^3} - 3{t^2} + 1}}{{{t^2}}} = \frac{{\left( {2t + 1} \right){{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{t^2}}} \ge 0,\forall t >0\)\( \Rightarrow \)hàm số \(f\left( t \right)\)đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x + 1} } \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow y = \sqrt {x + 1} \].

khi \(y = \sqrt {x + 1} \) thì \(P = x - 2y + 2020 = x + 1 - 2\sqrt {x + 1} + 1 + 2018 = {\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)^2} + 2018 \ge 2018\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(2018\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} - 1 = 0\\y = \sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\).