Câu hỏi:
13/04/2022 226Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \[a\]. Gọi \(M,{\kern 1pt} {\kern 1pt} N\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABD,{\kern 1pt} {\kern 1pt} ABC\) và \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(D\). Mặt \(\left( {MNE} \right)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(A\) có thể tích \(V\). Tính \(V\).
Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn đáp án A
Gọi \[H,{\rm{ }}K\] lần lượt là trung điểm của \[BD,{\rm{ }}BC\] và \[I = EM \cap AB.{\rm{ }}\]Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \[AHB\] ta được \[\frac{{AM}}{{MH}}.\frac{{HE}}{{EB}}.\frac{{BI}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow 2.\frac{3}{4}.\frac{{BI}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{BI}}{{IA}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow AI = \frac{3}{5}AB\]
\[\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{3}{5} \ne \frac{{AN}}{{AK}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \]Hai đường thẳng \[IN\] và \[BC\] cắt nhau, gọi giao điểm là \[F\].
Gọi \[P = EM \cap AD.{\rm{ }}\]Vì \[MN{\rm{//}}CD\] nên áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Ta có \[PQ{\rm{//}}EF{\rm{//}}CD.\]
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác \[ADB\] ta được
\[\frac{{AP}}{{PD}}.\frac{{DE}}{{EB}}.\frac{{BI}}{{IA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{PD}}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{PD}} = 3.\]
Có\[ABCD\] là tứ diện đều cạnh bằng \[a \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]
\[\frac{{{V_{APQI}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AP}}{{AD}}.\frac{{AQ}}{{AC}}.\frac{{AI}}{{AB}} = \frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{3}{5} = \frac{{27}}{{80}} \Rightarrow {V_{APQI}} = \frac{{27}}{{80}}{V_{ABCD}} = \frac{{27}}{{80}}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\]
Vậy \({V_{APQI}} = \frac{{9\sqrt 2 {a^3}}}{{320}}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn đáp án A
Hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - 1} \right)\) có nghĩa khi \(x - 1 >0 \Rightarrow x >1\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {x - 1} \right)\) là \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Chọn đáp án D
Gọi tứ diện \[ABCD\] là tứ diện đều cạnh a.
Gọi \[H\] là tâm của tam giác\[ABC\]. Khi đó \(DH \bot \left( {ABC} \right)\) tại \[H\].
Gọi \(I\) là trung điểm của \[BC\]. Khi đó góc giữa mặt phẳng \(\left( {DBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {DIH}\)
Ta có \(\cos \widehat {\left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right)} = \cos \widehat {DIH} = \frac{{IH}}{{ID}}\).
Tam giác \[ABC\] đều \( \Rightarrow IH = \frac{1}{3}IA = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Tam giác \[DBC\] đều \( \Rightarrow ID = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \cos \widehat {\left( {\left( {ABC} \right),DBC} \right)} = \frac{1}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải