Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên $ℝ.$  Khi đó hàm số $y=f\left(4\text{x}-4{\text{x}}^2\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án C

Theo đề bài thì $y=f\left(x\right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và $y=f\text{'}\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$

 $\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\\ u\left(x\right)=0\end{array}\right.;$với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ, còn $u\left(x\right)=0$  chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập $\left[0;1;2\right]$

Đặt $g\left(x\right)=f\left(4x-4x^2\right),$  ta có:

$g\text{'}\left(x\right)=\left(4-8x\right)f\text{'}\left(4x-4x^2\right).$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}4-8x=0\\ f\text{'}\left(4x-4x^2\right)=0\end{array}\right.$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}4-8x=0\\ 4x-4x^2=0\\ 4x-4x^2=1\\ 4x-4x^2=2\\ u\left(4x-4x^2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2\text{x}-1=0\\ x\left(x-1\right)=0\\ {\left(2\text{x}-1\right)}^2=0\\ u\left(4x-4x^2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=\frac{1}{2}\\ u\left(4x-4x^2\right)=0\end{array}\right.$

+) Xét phương trình  $u\left(4x-4x^2\right)=0.$

Giả sử a là một nghiệm của phương trình $u\left(x\right)=0$  thì từ $a\notin \left\{0;1;2\right\}$  ta thấy phương trình $4x-4x^2=a$  không có nghiệm nào thuộc tập $\left\{0;\frac{1}{2};1\right\}.$  Suy ra các nghiệm $x=0;x=1$  là nghiệm đơn còn $x=\frac{1}{2}$  là nghiệm bội 3 của phương trình $f\text{'}\left(4x-4x^2\right)=0$

+) Nếu phương trình $u\left(4x-4x^2\right)=0$ có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình  $f\text{'}\left(4x-4x^2\right)=0$

Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình $g\left(x\right)=0$ là $\left\{0;\frac{1}{2};1\right\}.$  Do đó, hàm số $g\left(x\right)=f\left(4x-4x^2\right)$ có 3 điểm cực trị.