Cho lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'},$  trên các cạnh $AA\text{'},BB\text{'}$ lấy các điểm M, N sao cho $AA\text{'}=4A\text{'}M,BB\text{'}=4B\text{'}N.$  Mặt phẳng $\left(C\text{'}MN\right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi $V_1$ là thể tích của khối chóp $C\text{'}.A\text{'}B\text{'}NM,{V_2}_{}$là thể tích của khối đa diện $ABCMNC\text{'}.$ Tỉ số$\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC\text{'}$ và $CD\text{'}$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a,b,c,d\in ℝ\right).$  Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$  như hình vẽ bên. Số nghiệm thực cùa phương trình $3f\left(x\right)+4=0$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $x^2+y^2+z^2+2mx-2\left(m-1\right)y-mz+m-2=0$ là phương trình của mặt cầu $\left(S_m\right).$  Biết với mọi số thực m thì $\left(S_m\right)$ luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính I của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(7;2;3\right),B\left(1;4;3\right),C(1;2;6),D\left(1;2;3\right)$ và điểm M tùy ý. Tính độ dài đoạn OM khi biểu thức $P=MA+MB+MC+\sqrt{3}MD$  đạt giá trị nhỏ nhất