Cho đường thẳng

\((d):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \((P):2x + y - 3 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\)xuống mặt phẳng \((P)\) có phương trình là

Chọn đáp án D

Tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\)và \((P)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x + 2y - 3 = 0\\y + z - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow A\left( {1;1;3} \right)\).

Lấy \(B\left( { - 1;2;2} \right) \in d\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) xuống mặt phẳng \((P)\).

Phương trình đường thẳng \(\left( {BH} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 2\end{array} \right.\). Tọa độ điểm \(H\)là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x = - 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {\frac{1}{5};\frac{{13}}{5};2} \right)\).

Hình chiếu \(\Delta \) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,H\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} \left( {\frac{{ - 4}}{5};\frac{8}{5}; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có vecto chỉ phương \({\vec u_\Delta } = - 5\overrightarrow {AH} = \left( {4; - 8,5} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{{ - 8}} = \frac{{z - 3}}{5}\).